LeetCode Hot100【二分法-153. 寻找旋转排序数组中的最小值】

题目：153. 寻找旋转排序数组中的最小值

代码实现

class Solution {
public:
    // 查找旋转排序数组中的最小值
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;  // 定义左右边界
        while (left < right) {  // 当左边界小于右边界时继续搜索
            int mid = left + (right - left) / 2;  // 计算中间位置
            if (nums[mid] < nums[right]) {  // 如果中间元素小于右边界元素，说明最小值在左半部分
                right = mid;  // 收缩右边界
            } else {  // 如果中间元素大于等于右边界元素，最小值在右半部分
                left = mid + 1;  // 收缩左边界
            }
        }
        return nums[right];  // 返回最小值
    }
};

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执行流程

示例输入

nums = [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]

步骤解析

1. 初始化 left = 0, right = 6（数组的索引范围）。
2. 第一次循环：
   • mid = (0 + 6) / 2 = 3，对应元素 nums[3] = 7。
   • nums[mid] = 7 > nums[right] = 2，说明最小值在右半部分，更新 left = mid + 1 = 4。
3. 第二次循环：
   • mid = (4 + 6) / 2 = 5，对应元素 nums[5] = 1。
   • nums[mid] = 1 < nums[right] = 2，说明最小值在左半部分，更新 right = mid = 5。
4. 第三次循环：
   • left = 4, right = 5，mid = (4 + 5) / 2 = 4，对应元素 nums[4] = 0。
   • nums[mid] = 0 < nums[right] = 1，说明最小值在左半部分，更新 right = mid = 4。
5. 结束条件：left = right = 4，返回 nums[right] = 0。

最终输出：

0

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关键思路

1. 旋转排序数组的性质
   • 旋转排序数组是一个已经排序的数组，在某个位置发生旋转，形成两个有序子数组。
   • 最小值一定处在两个有序子数组的交界处。
2. 二分查找优化
   • 与传统的二分查找不同，旋转排序数组中每次比较的是中间元素与右边界元素（nums[mid] < nums[right]）。
   • 如果中间元素小于右边界元素，说明最小值在左半部分，因此更新 right = mid。
   • 如果中间元素大于等于右边界元素，说明最小值在右半部分，因此更新 left = mid + 1。
3. 终止条件
   • 当 left 与 right 相遇时，left 和 right 指向的就是最小值的位置。

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时间 & 空间复杂度

操作	时间复杂度	空间复杂度
查找最小值	O(log⁡n)	O(1)

• 时间复杂度： 每次通过二分查找将搜索范围缩小一半，因此时间复杂度是 O(log⁡n)，其中 n是数组的长度。
• 空间复杂度： 只使用了常数空间来存储 left, right, mid，因此空间复杂度是 O(1)。

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基础语法解析

1. int mid = left + (right - left) / 2;

• 避免溢出的中间位置计算： 使用 left + (right - left) / 2 计算中间位置，避免 (left + right) / 2 可能造成的溢出问题。

int mid = left + (right - left) / 2;

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2. if (nums[mid] < nums[right])

• 判断最小值在左半部分还是右半部分： 如果 nums[mid] 小于 nums[right]，说明最小值在左半部分，否则在右半部分。

if (nums[mid] < nums[right]) {
    right = mid;
} else {
    left = mid + 1;
}

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3. return nums[right];

• 返回最小值： 当 left == right 时，right 指向的是最小值的元素，因此直接返回 nums[right]。

return nums[right];

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优化 & 变种

优化 1：处理数组中有重复元素的情况

• 如果数组中存在重复元素（例如 [2, 2, 2, 0, 1]），则可以在比较时避免直接判断 nums[mid] < nums[right]，改为 if (nums[mid] <= nums[right])，此时需要增加一个条件来判断如何处理重复元素。

if (nums[mid] <= nums[right]) {
    right = mid;
} else {
    left = mid + 1;
}

变种 1：查找旋转数组的最大值

• 如果要查找旋转排序数组中的最大值，可以对上面的方法进行改进，类似的二分查找方法，比较中间元素与右边界元素，只不过最大值在相反的方向。

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总结

C++ 语法 / 结构	作用
mid = left + (right - left) / 2	安全计算中间位置，避免溢出
if (nums[mid] < nums[right])	判断最小值在左半部分还是右半部分
return nums[right]	返回最小值
时间复杂度： O(log n)	每次二分查找的时间复杂度
空间复杂度： O(1)	使用常数空间