蓝桥杯经典题解：班级活动分组问题的深度解析与优化实现

目录

一、问题背景与描述

二、问题分析与核心思路

2.1 问题本质：统计与配对优化

2.2 关键观察

2.3 数学建模

三、算法设计与实现步骤

3.1 算法步骤

3.2 代码实现（Python）

3.3 优化点分析

四、关键细节与常见误区

4.1 细节处理

4.2 常见误区

六、总结与应用

6.1 解题核心

6.2 实际应用场景

6.3 代码优化建议

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一、问题背景与描述

在蓝桥杯的算法竞赛中，分组问题一直是考察逻辑思维与算法设计的经典题型。今天我们将深入探讨一个关于班级活动分组的优化问题：

题目描述
小明的老师需要将班级中的n名同学（n为偶数）分成两人一组。每位同学被随机分配了一个不超过n的ID。老师希望通过修改最少数量的ID，使得最终每个ID恰好出现两次。例如，若初始ID序列为[1,2,2,3]，则只需修改其中一个ID为3或1即可满足条件。

输入格式

• 第一行：正整数n（班级人数）
• 第二行：n个整数a1,a2,…,an（各同学的初始ID）

输出格式
输出需要修改的最少ID数量。

二、问题分析与核心思路

2.1 问题本质：统计与配对优化

该问题的核心在于将所有ID的出现次数调整为偶数，并且每个ID的出现次数恰好为2的倍数（因为每组两人）。因此，我们需要解决以下两个关键点：

1. 统计ID的出现次数：统计每个ID出现的次数。
2. 最小化修改次数：通过调整某些ID的值，使得所有ID的出现次数均为偶数。

2.2 关键观察

• 奇数次出现的ID需要调整：如果某个ID出现奇数次，则必须修改其中一个实例，使其变为另一个ID，从而将奇数次转化为偶数次。
• 配对原则：每个奇数次的ID需要与其他奇数次的ID配对。例如，若ID1出现3次，ID2出现5次，则可以通过将其中一个ID1改为ID2，或其中一个ID2改为ID1，从而将两者的奇数次转化为偶数次。

2.3 数学建模

假设所有ID的出现次数中，共有m个ID出现奇数次。则：

• 每对奇数次的ID需要一次修改：每两个奇数次的ID可以通过一次修改（将其中一个改为另一个）来消除奇数次的问题。
• 总修改次数为m/2：因为每对奇数次的ID需要一次修改，因此总修改次数为奇数次ID数量的一半。

三、算法设计与实现步骤

3.1 算法步骤

1. 统计频率：使用哈希表或数组记录每个ID的出现次数。
2. 统计奇数次ID的数量：遍历所有ID的计数，统计出现奇数次的ID数量m。
3. 计算最小修改次数：最终结果为m/2。

3.2 代码实现（Python）

def min_changes(n, ids):
    from collections import defaultdict
    count = defaultdict(int)
    for num in ids:
        count[num] += 1
    odd_count = 0
    for v in count.values():
        if v % 2 != 0:
            odd_count += 1
    return odd_count // 2

# 示例输入
n = 4
ids = [1, 2, 2, 3]
print(min_changes(n, ids))  # 输出1

3.3 优化点分析

• 时间复杂度：O(n)，遍历两次数组即可完成统计。
• 空间复杂度：O(k)，其中k是不同ID的数量，通常远小于n。

四、关键细节与常见误区

4.1 细节处理

• ID范围的限制：题目要求ID为n以内的正整数，但修改后的ID可以是任意值（只要最终满足条件）。因此，无需考虑ID的具体数值，只需关注奇偶性。
• 偶数次的处理：如果某个ID出现偶数次，无需修改，但若其出现次数超过2次（如4次），则需要调整为2次。例如，若ID1出现4次，可以通过修改两个ID1为其他ID，但这一步是否必要？

4.2 常见误区

• 误区1：认为出现次数超过2次的ID需要额外修改。
  正确理解：只要次数为偶数即可，无需强制为2次。例如，出现4次的ID可以保留，只需调整其他ID的奇偶性。

• 误区2：试图直接调整到恰好2次。
  正确策略：只需保证所有ID的出现次数为偶数，无需严格为2次。例如，若三个ID各出现2次，总人数为6，是合法的。

六、总结与应用

6.1 解题核心

该问题的核心在于：

1. 奇偶性分析：通过统计奇数次的ID数量，直接得出最小修改次数。
2. 配对思想：每两个奇数次的ID通过一次修改即可消除奇数性。

6.2 实际应用场景

• 资源分配问题：例如将物品分配到偶数个组别。
• 数据清洗：确保数据集中的某些属性满足偶数条件。

6.3 代码优化建议

• 使用数组而非哈希表：若ID范围较小（如≤n），可用数组代替字典，提升性能。
• 空间优化：对于n≤1e5的情况，数组空间仍可接受。

import sys

def main():
    n = int(sys.stdin.readline())
    a_list = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))
    dp = [0] * 10  # dp[b] 表示以数字b结尾的最长接龙序列长度
    max_len = 0     # 记录最长序列长度
    
    for num in a_list:
        b = num % 10  # 获取末位数字
        a = num       # 获取首位数字
        while a >= 10:
            a = a // 10  # 循环直到得到首位数字
        
        # 更新dp数组
        new_len = dp[a] + 1
        if new_len > dp[b]:
            dp[b] = new_len
        if dp[b] > max_len:
            max_len = dp[b]
    
    print(n - max_len)

if __name__ == "__main__":
    main()