Floyd算法应用-医院选址问题

1)问题描述

n个村庄之间的交通图可以用有向网图来表示，图中边<v_i, v_j>上的权值表示从村庄i到村庄j的道路长度。现在要从这n个村庄中选择一个村庄新建一所医院，问这所医院应建在哪个村庄，才能使所有的村庄离医院都比较近？

2) 基本要求

(1) 建立模型，设计存储结构；

(2) 设计算法完成问题求解；

(3) 分析算法的时间复杂度。

3) 设计思想

医院选址问题实际是求有向图中心点的问题。首先定义顶点的偏心度。

设图G=（V，E），对任一顶点k，称E(k)=max{d(i, k)}（i∈V）为顶点k的偏心度。显然，偏心度最小的顶点即为图G的中心点。

如图3(a)所示是一个带权有向图，其各顶点的偏心度如图(b)所示。

 

4)医院选址问题的算法用伪代码描述如下：

1．对加权有向图，调用Floyd算法，求每对顶点间最短路径长度的矩阵；

2．对最短路径长度矩阵的每列求大值，即得到各顶点的偏心度；

3．具有最小偏心度的顶点即为所求。

5)代码附录

  1 #include<stdio.h>

  2 #include<stdlib.h>

  3 #include<string.h>

  4 #define INFINITY 1000000

  5 #define MAX_VERTEX_NUM 20

  6 

  7 //定义弧的权值信息

  8 typedef struct Arccell

  9 {

 10     int adj; //权值

 11 } Arccell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //图的邻接矩阵

 12 //定义结点信息

 13 typedef struct VertexInfo

 14 {

 15     char name[20];//结点[村庄]名称

 16     int position;//定点编号

 17 } VertexInfo;

 18 //图的结构

 19 typedef struct Mgraph

 20 {

 21     VertexInfo vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点数组

 22     AdjMatrix arcs;//邻接矩阵

 23     int vernum,arcnum;//分别指定顶点数和边数

 24 } Mgraph;

 25 

 26 

 27 //对图的初始化

 28 Mgraph initgraph()

 29 {

 30     Mgraph c;

 31     printf("请输入该图的顶点个数和弧的个数：\n");

 32     printf("顶点个数：");

 33     scanf("%d",&c.vernum);

 34     printf("弧的个数：");

 35     scanf("%d",&c.arcnum);

 36     //依次设置顶点编号

 37     for(int i=0; i<c.vernum; i++)

 38     {

 39         c.vexs[i].position=i;

 40     }

 41     //依次输入各顶点信息

 42     /*

 43     strcpy(c.vexs[0].name,"a");

 44     strcpy(c.vexs[1].name,"b");

 45     strcpy(c.vexs[2].name,"c");

 46     strcpy(c.vexs[3].name,"d");

 47     strcpy(c.vexs[4].name,"e");

 48 

 49     */

 50     printf("\n请依次输入各个村庄的名称：\n");

 51     for(int i=0;i<c.vernum;i++)

 52     {

 53         printf("村庄%d:",i);

 54         scanf("%s",&c.vexs[i].name);

 55 

 56     }

 57 

 58     //依次设置各弧的信息

 59     for(int i=0; i<c.vernum; i++)

 60     {

 61         //先初始化邻接矩阵,相同点设置为0，其他全部设置为INFINITY（无穷大）

 62         for(int j=0; j<c.vernum; j++)

 63         {

 64             c.arcs[i][j].adj=INFINITY;

 65             if(i==j)

 66             {

 67                 c.arcs[i][j].adj=0;

 68             }

 69         }

 70     }

 71     //再依次输入需要设置的权值

 72     int i,j,k;

 73     printf("请输入需要设置的弧长及其两端顶点[输入3个0结束]：\n");

 74     while(scanf("%d%d%d",&i,&j,&k))

 75     {

 76         if(i==0&&j==0&k==0)

 77             break;

 78         c.arcs[i][j].adj=k;

 79     }

 80     /*

 81     c.arcs[0][1].adj=1;

 82     c.arcs[1][2].adj=2;

 83     c.arcs[2][3].adj=2;

 84     c.arcs[2][4].adj=4;

 85     c.arcs[3][1].adj=1;

 86     c.arcs[3][2].adj=3;

 87     c.arcs[4][3].adj=5;

 88     */

 89     return c;

 90 }

 91 

 92 //输出邻接矩阵

 93 void printMatrix(Mgraph c)

 94 {

 95     printf("该图的邻接矩阵如下所示：\n");

 96     int count=0;//用于计数

 97     for(int i=0; i<c.vernum; i++)

 98         for(int j=0; j<c.vernum; j++)

 99         {

100             if(c.arcs[i][j].adj==INFINITY)

101                 printf("   #");

102             else

103                 printf("%4d",c.arcs[i][j].adj);

104             count++;

105             if(count%c.vernum==0)

106                 printf("\n");

107         }

108 }

109 

110 void ShortestPath_Floyd(Mgraph G,int dis[][MAX_VERTEX_NUM])

111 {

112     //用floyd算法求有向网G中各对定点v和w之间的最短路径及其带权长度dis[v][w]

113     for(int v=0; v<G.vernum; v++)

114         for(int w=0; w<G.vernum; w++)

115         {

116             //对各结点之间初始化已知距离

117             dis[v][w]=G.arcs[v][w].adj;

118         }

119 

120     for(int u=0; u<G.vernum; u++)

121         for(int v=0; v<G.vernum; v++)

122             for(int w=0; w<G.vernum; w++)

123             {

124                 if(dis[v][u]+dis[u][w]<dis[v][w])

125                 {

126                     //从v经u到w的路径更短

127                     dis[v][w]=dis[v][u]+dis[u][w];

128                 }

129             }

130 

131 }

132 //输出距离矩阵

133 void printDis(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM])

134 {

135     printf("\n经过Flyod算法之后各顶点之间的距离如下：\n");

136     for(int i=0; i<G.vernum; i++)

137     {

138         for(int j=0; j<G.vernum; j++)

139         {

140             if(dis[i][j]>=1000000)

141                 printf("   #");

142             else

143                 printf("%4d",dis[i][j]);

144 

145         }

146         printf("\n");

147     }

148 }

149 

150 //得到偏心度degree[]数组

151 void getDegree(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],int degree[])

152 {

153     for(int i=0;i<G.vernum;i++)

154     {

155         int max=dis[0][i];

156         for(int j=0;j<G.vernum;j++)

157         {

158             if(dis[j][i]>max)

159                 max=dis[j][i];

160         }

161         degree[i]=max;

162     }

163 }

164 

165 

166 

167 int main()

168 {

169     printf("**********欢迎使用医院选址系统*********\n");

170     Mgraph c=initgraph();

171     system("cls");

172 

173     //输出邻接矩阵

174     getchar();

175     printMatrix(c);

176 

177     //定义距离数组，调用Floyd算法得到结果

178     int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];

179     ShortestPath_Floyd(c,dis);

180 

181     //输出各个顶点之间的距离矩阵

182     getchar();

183     printDis(c,dis);

184 

185     //存放偏心度数

186     int degree[c.vernum];

187     getDegree(c,dis,degree);

188 

189     //显示各顶点的偏心度

190     getchar();

191     printf("\n各顶点的偏心度如下所示：\n");

192     for(int i=0;i<c.vernum;i++)

193     {

194         if(degree[i]>=1000000)

195             printf("   #\n");

196         else

197             printf("%4d\n",degree[i]);

198     }

199 

200     //得到最小村庄的编号和名称

201     int num;

202     int min=degree[0];

203     for(int i=0;i<c.vernum;i++)

204     {

205         if(min>degree[i])

206             min=degree[i];

207     }

208 

209     for(int i=0;i<c.vernum;i++)

210     {

211         if(min==degree[i])

212         {

213             num=i;

214             break;

215         }

216     }

217     getchar();

218     printf("\n偏心度最小的村庄编号：%4d\n",num);//输出偏心度最小的村庄编号

219     printf("医院应该建立在村庄:   %4s \n",c.vexs[num].name);

220     return 0;

221 

222 }

6)测试结果

1.首先运行程序，出现如图6.1所示。

 

　　　　　　　　  图6.1  程序运行开始界面

2.输入顶点个数和边的个数之后，会提示输入村庄名称，如图6.2所示。

 

                        图6.2 提示输入村庄名称界面

3.村庄名称输入结束之后，提示输入边的起始点和权值，如图6.3所示。

 

                        图6.3 提示输入边相关信息的界面

4.输入边的信息，以输入0 0 0结束，如图6.4所示。

 

                        图6.4 输入边相关信息界面

5.边的信息输入完成之后，回车得到邻接矩阵，如图6.5所示。

 

                           图6.5 邻接矩阵表

6.继续回车，得到距离矩阵，如图6.6所示。

 

                           图6.6 距离矩阵表

7.回车，得到偏心度表，如图6.7所示。

 

                           图6.7 各顶点偏心度

8.最后程序输出医院选址结果，如图6.8所示。

 

                             图6.8 最终结果