⭐算法OJ⭐俄罗斯套娃信封问题【排序 + LIS】（Russian Doll Envelopes）

问题描述

LeetCode 354. 俄罗斯套娃信封问题（Russian Doll Envelopes）

给定一个二维整数数组 envelopes，其中 envelopes[i] = [w_i, h_i] 表示第 i 个信封的宽度和高度。当一个信封的宽度和高度都比另一个信封大时，它可以套进去（类似俄罗斯套娃）。求最多能有多少个信封组成“套娃”序列？

示例：

输入：envelopes = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
输出：3
解释：最多可以套成 [2,3] → [5,4] → [6,7] 这样的序列。

解题思路

这个问题可以转化为 二维的最长递增子序列（LIS）问题。我们需要找到一个信封序列，使得每个信封的宽度和高度都严格大于前一个信封的宽度和高度。

关键步骤

1. 排序： 首先对信封进行排序，按照宽度 w 升序排列。如果宽度相同，则按照高度 h 降序排列。

   • 这样做的目的是确保在宽度相同时，高度较大的信封排在前面，从而避免同一宽度的信封被错误地计入序列（因为宽度必须严格递增）。

2. 最长递增子序列（LIS）： 在排序后的高度数组上，使用 贪心 + 二分查找 的方法求解最长递增子序列的长度。

   • 因为宽度已经满足非递减，只需保证高度严格递增即可。

C++ 代码实现

#include 
#include 

using namespace std;

class Solution {
public:
    int maxEnvelopes(vector<vector<int>>& envelopes) {
        if (envelopes.empty()) return 0;

        // 排序：按宽度升序，宽度相同则按高度降序
        sort(envelopes.begin(), envelopes.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
            return a[0] < b[0] || (a[0] == b[0] && a[1] > b[1]);
        });

        // 对高度数组求 LIS
        vector<int> dp;
        for (const auto& env : envelopes) {
            int h = env[1];
            auto it = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), h);
            if (it == dp.end()) {
                dp.push_back(h);
            } else {
                *it = h;
            }
        }
        return dp.size();
    }
};

代码解析

• 排序部分：

  • sort(envelopes.begin(), envelopes.end(), [](...) { ... })
  • 使用自定义比较函数，先按宽度 w 升序，宽度相同则按高度 h 降序。
  • 例如：[[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]] 排序后为 [[2,3],[5,4],[6,7],[6,4]]。

• LIS 部分：

  • dp 数组维护当前的最长递增子序列。
  • 遍历排序后的高度 h，用 lower_bound 找到第一个不小于 h 的位置：
    • 如果 h 比 dp 中所有元素都大，则直接加入 dp。
    • 否则，用 h 替换 dp 中第一个不小于它的元素（保证 dp 尽可能增长缓慢，以容纳更多元素）。

• 返回值：

  • dp.size() 即为最长递增子序列的长度，也就是最多能套娃的信封数量。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(NlogN)$

  • 排序：$O(NlogN)$
  • LIS 的贪心 + 二分：$O(NlogN)$

• 空间复杂度：$O(N)$

  • dp 数组的空间开销。

总结

本题通过 排序 + LIS 的经典组合，将二维问题转化为一维问题。关键在于：

1. 按宽度升序、高度降序排序，避免同一宽度的信封被重复选择。
2. 使用贪心 + 二分优化 LIS，将时间复杂度从 $O(N^2)$ 降为 $O(NlogN)$。