求解传递闭包

矩阵多次相乘传递闭包

传递闭包是图论中的一个重要概念，主要用于描述一个图中节点之间的可达关系。简而言之，图的传递闭包就是一个最小的有向图，其中每一条边表示从一个节点到另一个节点存在某种路径。

在本篇文章中，我们将详细介绍传递闭包的定义、如何通过矩阵的多次相乘来计算传递闭包，以及给出一个Python代码实现，帮助大家更好地理解这个概念。

传递闭包的定义

给定一个有向图 $G$，它由节点集 $V$ 和边集 $E$ 构成。对于图中的任意两点 $u$ 和 $v$，如果存在一条从 $u$ 到 $v$ 的路径，则我们认为节点 $u$ 可以到达节点 $v$。图的传递闭包就是在原有图的基础上，为所有可以通过路径到达的节点对增加一条边。

换句话说，图的传递闭包是一个新的图，其中包含了所有在原图中不存在的“间接”边，即通过其他节点可以到达的所有节点对。

传递闭包与矩阵乘法

传递闭包的计算可以通过图的邻接矩阵来实现。邻接矩阵是一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$，其中$A[i][j]=1$ 表示存在一条从节点 $i$ 到节点 $j$ 的边，而 $A[i][j]=0$表示不存在这样的边。

对于图的传递闭包问题，我们可以利用矩阵的幂运算来计算传递闭包。传递闭包的计算本质上是对邻接矩阵进行多次相乘，直到矩阵中不再有新的路径（即没有更多的 1 被添加进矩阵）。这一过程可以通过计算邻接矩阵的多次幂来实现。

矩阵乘法和传递闭包

我们可以通过以下步骤计算图的传递闭包：

1. 初始化邻接矩阵 $A$，其中 $A[i][j]=1$表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 直接有边。
2. 通过矩阵的多次乘法来逐步加入间接边。
3. 直到矩阵不再发生变化为止。

我们实际上是在做的是“矩阵的冯·诺伊曼加法”（即通过不断“合并”矩阵来逐步增加图中的可达路径）。

典型例题

洛谷：B3611
题目链接：传递闭包模板题目

代码实现

下面是上面题目的python代码实现：

def floyd():
  global edges, n 
  b = [[i for i in range(n)] for _ in range(n)]
  for k in range(n):
    for i in range(n):
      for j in range(n):
        edges[i][j] += edges[i][k] * edges[k][j] # 传递闭包的计算（本质是矩阵自身的n次相乘）
        edges[i][j] = min(1, edges[i][j]) # 如果i和j之间有通路就设置成1
  return b
  
n = int(input())
edges = []
for _ in range(n):
  edges.append(list(map(int, input().split())))
b = floyd()
for ele in edges:
  print(*ele, sep = '')

代码解析

1. 邻接矩阵初始化
   输入的 $edges$ 是一个二维列表，表示图的邻接矩阵。edges[i][j] 的值为 1 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 有一条边，为 0 表示没有。

2. 计算传递闭包
   使用三重循环遍历所有的节点对 $(i,j)$，如果通过某个节点 $k$可以从 $i$ 到达$j$，则将$edges[i][j]$ 设置为 1。

3. 输出传递闭包矩阵
   计算完成后，edges 矩阵即为输入图的传递闭包矩阵，包含了所有直接和间接的边。

总结

传递闭包是图论中的一个重要概念，它描述了节点间的可达关系。在计算图的传递闭包时，我们本质上是在计算图的邻接矩阵的多次相乘。通过这个过程，我们可以得出所有节点对之间是否存在路径的信息。

在实际应用中，传递闭包广泛应用于许多领域，如任务调度、数据库查询优化、程序控制流分析等。掌握矩阵多次相乘的思想，不仅可以帮助我们高效地计算图的传递闭包，还能为解决更复杂的图算法问题打下基础。

希望这篇文章能帮助大家更好地理解传递闭包的概念及其实现方法！