离散傅里叶级数（DFS）——从DTFT到DFT的桥梁
连续时间傅里叶级数 (CTFS)
指数形式的傅里叶级数
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ X k e j k Ω 0 t x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_k {\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0 t} x(t)=k=−∞∑+∞XkejkΩ0t
其中 k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots k=0,±1,±2,⋯， X k X_k Xk表示傅里叶复系数，
X k = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 x ( t ) e − j k Ω 0 t d t X_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) {\rm e}^{-{\rm j}k\Omega_0 t} \, dt Xk=T1∫−T/2T/2x(t)e−jkΩ0tdt
离散时间傅里叶级数 (DTFS)
设 x ~ ( n ) \tilde{x}(n) x~(n)表示周期为 N N N的周期序列，即
x ~ ( n ) = x ~ ( n + r N ) \tilde{x}(n) =\tilde{x}(n + rN) x~(n)=x~(n+rN)
其中， r r r为任意整数，周期 N N N为使等式成立的最小正整数。
将周期序列 x ~ ( n ) \tilde{x}(n) x~(n)表示为离散傅里叶级数的形式，即
x ~ ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ~ ( k ) e j ω 0 k n (1) \tilde{x}(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) {\rm e}^{{\rm j}\omega_0 kn} \tag{1} x~(n)=N1k=0∑N−1X~(k)ejω0kn(1)
其中， ω 0 = 2 π / N \omega_0 = 2\pi / N ω0=2π/N表示基频， X ~ ( k ) \tilde{X}(k) X~(k)表示第 k k k次谐波的系数。
| 连续/离散时间 | 周期 | 基频 | 基频序列/信号 | k k k次谐波 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|
| x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ X k e j k Ω 0 t x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X_k {\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0 t} x(t)=k=−∞∑+∞XkejkΩ0t | T T T | Ω 0 = 2 π T \Omega_0 = \frac{2\pi}{T} Ω0=T2π | e j Ω 0 t {\rm e}^{{\rm j}\Omega_0 t} ejΩ0t | e j k Ω 0 t {\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0 t} ejkΩ0t | 无穷多个谐波分量 |
| x ~ ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ~ ( k ) e j ω 0 k n \tilde{x}(n) = \dfrac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) {\rm e}^{{\rm j}\omega_0 kn} x~(n)=N1k=0∑N−1X~(k)ejω0kn | N N N | ω 0 = 2 π N \omega_0 = \frac{2\pi}{N} ω0=N2π | e j ω 0 n {\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} ejω0n | e j k ω 0 n {\rm e}^{{\rm j}k\omega_0 n} ejkω0n | N N N个独立谐波分量 |
将式 (1) 两端同时乘以 e − j 2 π N r n {\rm e}^{-{\rm j}\frac{2\pi}{N} rn} e−jN2πrn后在 n = 0 n = 0 n=0到 n = N − 1 n = N - 1 n=N−1的周期内求和
∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j 2 π N r n = 1 N ∑ n = 0 N − 1 ∑ k = 0 N − 1 X ~ ( k ) e j 2 π N ( k − r ) n = ∑ k = 0 N − 1 X ~ ( k ) [ 1 N ∑ n = 0 N − 1 e j 2 π N ( k − r ) n ] \begin{aligned} \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) {\rm e}^{-{\rm j}\frac{2\pi}{N} rn} &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) {\rm e}^{{\rm j}\frac{2\pi}{N} (k-r)n}\\ &= \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) \left[ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} {\rm e}^{{\rm j}\frac{2\pi}{N} (k-r)n} \right] \end{aligned} n=0∑N−1x~(n)e−jN2πrn=N1n=0∑N−1k=0∑N−1X~(k)ejN2π(k−r)n=k=0∑N−1X~(k)[N1n=0∑N−1ejN2π(k−r)n]
根据等比级数求和
1 N ∑ n = 0 N − 1 e j 2 π N r n = { 1 , r = m N , m 为任意整数 0 , 其他 r \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} {\rm e}^{{\rm j}\frac{2\pi}{N} rn} = \begin{cases} 1, & r = mN, m \text{ 为任意整数} \\ 0, & \text{其他 } r \end{cases} N1n=0∑N−1ejN2πrn={1,0,r=mN,m 为任意整数其他 r
可得
∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j 2 π N r n = X ~ ( r ) \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) {\rm e}^{-{\rm j}\frac{2\pi}{N} rn} = \tilde{X}(r) n=0∑N−1x~(n)e−jN2πrn=X~(r)
将变量 r r r替换为 k k k，可得 k k k次谐波的系数 X ~ ( k ) \tilde{X}(k) X~(k)的计算公式如下
X ~ ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j 2 π N k n (2) \tilde{X}(k) = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) {\rm e}^{-{\rm j}\frac{2\pi}{N} kn}\tag{2} X~(k)=n=0∑N−1x~(n)e−jN2πkn(2)
式 (2) 表示时域到频域的变换，称为离散傅里叶级数的正变换，用 DFS [ ⋅ ] \text{DFS}[\cdot] DFS[⋅]表示。式 (1) 表示频域到时域的变换，称为离散傅里叶级数的反变换，用 IDFS [ ⋅ ] \text{IDFS}[\cdot] IDFS[⋅]表示。
DFS 和 IDFS 的关系
X ~ ( k ) = DFS [ x ~ ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j 2 π N k n , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ \tilde{X}(k) = \text{DFS}[\tilde{x}(n)] = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) {\rm e}^{-{\rm j}\frac{2\pi}{N} kn}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots X~(k)=DFS[x~(n)]=n=0∑N−1x~(n)e−jN2πkn,k=0,±1,±2,⋯ x ~ ( n ) = IDFS [ X ~ ( k ) ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ~ ( k ) e j 2 π N k n , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ \tilde{x}(n) = \text{IDFS}[\tilde{X}(k)] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) {\rm e}^{{\rm j}\frac{2\pi}{N} kn}, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots x~(n)=IDFS[X~(k)]=N1k=0∑N−1X~(k)ejN2πkn,n=0,±1,±2,⋯
周期序列的性质
X ~ ( k + r N ) = ∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j 2 π N ( k + r N ) n = ∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j 2 π N k n = X ~ ( k ) \tilde{X}(k + rN) = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) {\rm e}^{-{\rm j}\frac{2\pi}{N} (k+rN)n} = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) {\rm e}^{-{\rm j}\frac{2\pi}{N} kn} = \tilde{X}(k) X~(k+rN)=n=0∑N−1x~(n)e−jN2π(k+rN)n=n=0∑N−1x~(n)e−jN2πkn=X~(k)
总结
因为 x ~ ( n ) \tilde{x}(n) x~(n)和 X ~ ( k ) \tilde{X}(k) X~(k)都是离散周期序列，只需要 N N N个样本即可表示 x ~ ( n ) \tilde{x}(n) x~(n)和 X ~ ( k ) \tilde{X}(k) X~(k)的形状，其余部分均是这 N N N个样本的重复出现，故只需要研究它们一个完整周期的样本值即可。