力扣1338 === 贪心算法解决数组减半问题

目录

问题分析

方法思路：贪心算法

步骤分解

代码解释

复杂度分析

正确性证明

示例验证

边界情况

总结

---

要解决这个问题，我们需要找到最少需要删除的不同整数集合，使得剩余的元素个数不超过原数组的一半。以下是对该问题的详细分析和解决方案的逐步说明。

---

问题分析

给定一个整数数组 arr，要求删除一个元素集合，使得剩余的元素个数 不超过原数组长度的一半。我们需要找到 删除集合的最小大小。

关键点：

• 删除的元素应尽可能多地减少剩余元素的数量。

• 优先删除出现频率高的元素，可以最快达到目标。

---

方法思路：贪心算法

贪心算法的核心思想是每一步选择当前最优解，最终得到全局最优解。在本问题中，最优策略是 优先删除出现频率最高的元素，因为这样能快速减少剩余元素的数量。

步骤分解

1. 统计频率
   遍历数组，用哈希表统计每个元素的出现次数。
   例如：数组 [3,3,3,3,5,5,5,2,2,7] 的统计结果为：3→4次，5→3次，2→2次，7→1次。

2. 按频率降序排序
   将哈希表中的频率值提取出来，按从大到小排序。
   上例排序后得到 [4, 3, 2, 1]。

3. 累加频率直到满足条件
   从最高频率开始累加，直到累加值 ≥ 数组长度的一半。记录累加的步数，即为最少删除的集合大小。
   上例中，数组长度 n=10，目标为 n/2=5。累加 4+3=7，只需删除两个元素集合（3和5），剩余元素为 7（即 7 ≤5）。

---

/**
 * @param {number[]} arr
 * @return {number}
 */
var minSetSize = function (arr) {
  let ans = 0; // 需要删除的元素个数
  let sum = 0; // 当前删除的元素个数
  const map = new Map();
  // 统计每个元素出现的次数
  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
    map.set(arr[i], (map.get(arr[i]) || 0) + 1);
  }
  // 将map按出现次数从大到小排序
  const sortedMap = Array.from(map.entries()).sort((a, b) => b[1] - a[1]);
  console.log(sortedMap);
  // 遍历排序后的map，计算需要删除的元素个数
  for (let i = 0; i < sortedMap.length; i++) {
    // 当前删除的元素个数
    sum += sortedMap[i][1];
    // 需要删除的元素个数
    ans++;
    // 如果当前删除的元素个数大于等于数组的一半，则返回需要删除的元素个数
    if (sum >= arr.length / 2) {
      return ans;
    }
  }
};

console.log(minSetSize([3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 8, 7]));

 

代码解释

1. 统计频率

   • 使用 Map 结构遍历数组，记录每个元素的出现次数。

   • 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组长度。

2. 排序频率

   • 将频率值转换为数组并按降序排序。

   • 时间复杂度：O(k log k)，其中 k 是不同元素的数量。

3. 累加频率

   • 依次累加频率值，直到总和 ≥ n/2。

   • 时间复杂度：O(k)。

   • 例如：当 sum 达到或超过 target 时，立即返回 count。

---

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n + k log k)
  其中 n 是数组长度，k 是不同元素的数量。

  • 统计频率：O(n)

  • 排序频率：O(k log k)

  • 累加频率：O(k)

• 空间复杂度：O(k)
  用于存储哈希表和排序后的频率数组。

---

正确性证明

贪心策略的正确性可以通过以下思路证明：

• 最优子结构：每次选择频率最高的元素，可以确保每一步删除操作是最优的。

• 反证法：假设存在更优的策略，那么该策略必须包含一个比当前选择的频率更低的元素，但这会导致需要更多的删除次数，与假设矛盾。

---

示例验证

以输入 [3,3,3,3,5,5,5,2,2,7] 为例：

1. 统计频率：3→4，5→3，2→2，7→1。

2. 排序频率：[4, 3, 2, 1]。

3. 累加过程：

   • 第1步：sum=4，count=1（未达到目标5）。

   • 第2步：sum=7，count=2（满足条件，返回2）。

---

边界情况

1. 所有元素相同

   • 输入 [2,2,2,2]，直接删除集合 {2}（count=1）。

2. 数组长度为奇数

   • 输入 [1,2,3,4,5]，目标为 2.5，需删除两个元素（例如频率为2和1的元素）。

3. 恰好达到目标

   • 输入 [1,1,1,2,2,3]，目标为3。删除频率为3和2的元素，sum=3+2=5 ≥3，count=2。

---

总结

通过贪心算法，优先删除高频元素，我们能够以最小的删除次数将数组大小减半。该方法高效且直观，适用于大部分实际场景。