理解tarjan算法求强连通分量

tarjan算法的基本框架就是dfs,其基本原理是有向图至少存在一棵深搜子树,其结点集合构成一个强连通分量,这是显然的,因为必定有一个强连通分量最后被dfs,这个强连通分量的结点构成深搜树的一棵子树。

有了以上结论后,求强连通分量就有思路了,我们在每棵子树深搜完成后判断这棵子树是否构成强连通分量即可,关键在于如何判断一棵子树是否构成强连通分量。

注意到最先搜索完的子树是那些叶子结点,要判断叶子结点是否构成强连通分量很简单,若存在叶子结点与其祖先结点的连边,则该叶子结点不构成强连通分量,否则构成强连通分量。tarjan算法用pre[V]数组和low[V]数组来判断子树是否构成强连通分量,pre[v]保存结点v在先序遍历中的访问顺序,以下统称深度优先数,low[v]保存从v出发能到达的所有结点的最小深度优先数,用叶子结点来解释,v为叶子结点,
当low[v]<pre[v]时,表明存在v到其祖先结点的连边,v不构成强连通分量;
当low[v]==pre[v]时,表明不存在v到其祖先结点的连边,v构成强连通分量。

若深搜树中存在一个叶子结点构成强连通分量,则通过以上判断可以求出,也即求出了第一个强连通分量;
若深搜树中所有叶子结点都不构成强连通分量,此时叶子结点必定与其父结点同在一个强连通分量中,可以将其缩到父结点中(具体操作是更新父结点的low数组),原来的父结点就变成了“大”叶子结点,还是通过low[v]=?pre[v]来判断这个“大”叶子结点是否构成强连通分量,一直这样下去,叶子结点将越来越大,直到求出第一个强连通分量为止。

在求出第一个强连通分量后,我们将其包含的结点在原图中删除,问题又转化成了求第一个强连通分量的问题,理解还是一样的,以此类推,直到所有的强连通分量均被求出,此时算法结束。

参考代码:
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#define MIN(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
#define N 100
int pre[N],low[N],id[N],s[N],t,cnt,top,n,m;
vector<int> g[N];
//初始化
void init()
{
  t=cnt=top=0;
  memset(pre,0xff,sizeof(pre));
}
//tarjan算法主体
void dfs(int u)
{
  int min=pre[u]=low[u]=t++;
  int i,v;
  s[top++]=u;
  for(i=0;i<g[u].size();i++)
  {
    v=g[u][i];
    if(pre[v]==-1)  dfs(v);
    min=MIN(min,low[v]);
  }
  if(min<low[u])
  {
    low[u]=min;
    return;
  }
  do{
    id[v=s[--top]]=cnt;
    low[v]=n;
  }while(v!=u);
  cnt++;
}
//调用测试
int main()
{
  freopen("in.txt","r",stdin);
  freopen("out.txt","w",stdout);

  int u,v,i,kase=0;
  while(~scanf("%d%d",&n,&m))
  {
    for(i=0;i<n;i++)  g[i].clear();
    for(i=0;i<m;i++)
    {
      scanf("%d%d",&u,&v);
      g[u].push_back(v);
    }
    init();
    for(i=0;i<n;i++)
    {
      if(pre[i]==-1)  dfs(i);
    }
   
    for(i=0;i<cnt;i++)  g[i].clear();
    for(i=0;i<n;i++)
    {
      g[id[i]].push_back(i);
    }
   
    printf("Case %d: ",++kase);
    for(i=0;i<cnt;i++)
    {
      printf("{ ");
     
      for(int j=0;j<g[i].size();j++)
      {
        printf("%d ",g[i][j]);
      }
     
      printf("} ");
    }
    printf("\n");
  }
  return 0;
}

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