理解tarjan算法求强连通分量

tarjan算法的基本框架就是dfs，其基本原理是有向图至少存在一棵深搜子树，其结点集合构成一个强连通分量，这是显然的，因为必定有一个强连通分量最后被dfs，这个强连通分量的结点构成深搜树的一棵子树。

有了以上结论后，求强连通分量就有思路了，我们在每棵子树深搜完成后判断这棵子树是否构成强连通分量即可，关键在于如何判断一棵子树是否构成强连通分量。

注意到最先搜索完的子树是那些叶子结点，要判断叶子结点是否构成强连通分量很简单，若存在叶子结点与其祖先结点的连边，则该叶子结点不构成强连通分量，否则构成强连通分量。tarjan算法用pre[V]数组和low[V]数组来判断子树是否构成强连通分量，pre[v]保存结点v在先序遍历中的访问顺序，以下统称深度优先数，low[v]保存从v出发能到达的所有结点的最小深度优先数，用叶子结点来解释，v为叶子结点，
当low[v]<pre[v]时，表明存在v到其祖先结点的连边，v不构成强连通分量；
当low[v]==pre[v]时，表明不存在v到其祖先结点的连边，v构成强连通分量。

若深搜树中存在一个叶子结点构成强连通分量，则通过以上判断可以求出，也即求出了第一个强连通分量；
若深搜树中所有叶子结点都不构成强连通分量，此时叶子结点必定与其父结点同在一个强连通分量中，可以将其缩到父结点中（具体操作是更新父结点的low数组），原来的父结点就变成了“大”叶子结点，还是通过low[v]=?pre[v]来判断这个“大”叶子结点是否构成强连通分量，一直这样下去，叶子结点将越来越大，直到求出第一个强连通分量为止。

在求出第一个强连通分量后，我们将其包含的结点在原图中删除，问题又转化成了求第一个强连通分量的问题，理解还是一样的，以此类推，直到所有的强连通分量均被求出，此时算法结束。

参考代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#define MIN(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
#define N 100
int pre[N],low[N],id[N],s[N],t,cnt,top,n,m;
vector<int> g[N];
//初始化
void init()
{
  t=cnt=top=0;
  memset(pre,0xff,sizeof(pre));
}
//tarjan算法主体
void dfs(int u)
{
  int min=pre[u]=low[u]=t++;
  int i,v;
  s[top++]=u;
  for(i=0;i<g[u].size();i++)
  {
    v=g[u][i];
    if(pre[v]==-1)  dfs(v);
    min=MIN(min,low[v]);
  }
  if(min<low[u])
  {
    low[u]=min;
    return;
  }
  do{
    id[v=s[--top]]=cnt;
    low[v]=n;
  }while(v!=u);
  cnt++;
}
//调用测试
int main()
{
  freopen("in.txt","r",stdin);
  freopen("out.txt","w",stdout);

  int u,v,i,kase=0;
  while(~scanf("%d%d",&n,&m))
  {
    for(i=0;i<n;i++)  g[i].clear();
    for(i=0;i<m;i++)
    {
      scanf("%d%d",&u,&v);
      g[u].push_back(v);
    }
    init();
    for(i=0;i<n;i++)
    {
      if(pre[i]==-1)  dfs(i);
    }
   
    for(i=0;i<cnt;i++)  g[i].clear();
    for(i=0;i<n;i++)
    {
      g[id[i]].push_back(i);
    }
   
    printf("Case %d: ",++kase);
    for(i=0;i<cnt;i++)
    {
      printf("{ ");
     
      for(int j=0;j<g[i].size();j++)
      {
        printf("%d ",g[i][j]);
      }
     
      printf("} ");
    }
    printf("\n");
  }
  return 0;
}