【C++游戏引擎开发】第14篇：视图空间与相机坐标系

一、视图空间的基础数学框架

1.1 齐次坐标与变换矩阵

三维坐标系变换采用4×4齐次坐标矩阵，其通用形式为：
$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{3\times 3}& {\mathbf{b}}_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]$$
其中：

• $\mathbf{A}$ 包含旋转、缩放变换
• $\mathbf{b}$ 为平移向量
• 坐标点表示为 $(x,y,z,1{)}^T$

1.2 相机参数化表示

相机状态由六自由度参数定义：

• 位置坐标：$\mathbf{C}=(X,Y,Z)$
• 欧拉角：$({\theta }_x,{\theta }_y,{\theta }_z)$（俯仰、偏航、滚动）
• 缩放因子：$s$

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二、相机坐标系变换原理

2.1 刚体变换分解

2.1.1 平移变换矩阵

将世界坐标原点平移至相机位置：
T = [ 1 0 0 − X 0 1 0 − Y 0 0 1 − Z 0 0 0 1 ] \mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -X \\ 0 & 1 & 0 & -Y \\ 0 & 0 & 1 & -Z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T= ​1000​0100​0010​−X−Y−Z1​ ​

2.1.2 旋转变换矩阵

构造基于观察方向的正交基：

1. 前向向量：$\mathbf{f}=\frac{\mathbf{g}}{\Vert \mathbf{g}\Vert }$
2. 右向向量：$\mathbf{r}=\frac{\mathbf{t}\times \mathbf{f}}{\Vert \mathbf{t}\times \mathbf{f}\Vert }$
3. 上向向量：$\mathbf{u}=\mathbf{f}\times \mathbf{r}$

旋转矩阵的解析形式：
R = [ r x r y r z 0 u x u y u z 0 − f x − f y − f z 0 0 0 0 1 ] \mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_x & r_y & r_z & 0 \\ u_x & u_y & u_z & 0 \\ -f_x & -f_y & -f_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R= ​rx​ux​−fx​0​ry​uy​−fy​0​rz​uz​−fz​0​0001​ ​

2.2 视图矩阵合成

组合平移与旋转得到视图矩阵：
M v i e w = R ⋅ T = [ r − r ⋅ C u − u ⋅ C − f f ⋅ C 0 1 ] \mathbf{M}_{view} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r} & -\mathbf{r}\cdot\mathbf{C} \\ \mathbf{u} & -\mathbf{u}\cdot\mathbf{C} \\ -\mathbf{f} & \mathbf{f}\cdot\mathbf{C} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} Mview​=R⋅T= ​ru−f0​−r⋅C−u⋅Cf⋅C1​ ​

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三、投影变换原理

3.1 正交投影

3.1.1 规范视体定义

正交投影将立方体视体映射到规范立方体[-1,1]³：
$${\mathbf{M}}_{ortho}=$$