傅里叶变换之间的关联——频率变量是纽带

因为研究滤波器设计，需要关联离散时间傅里叶变换 (DTFT)和离散傅里叶变换 (DFT)，但是被冈萨雷斯坑的，前面的基础没有涉及离散时间傅里叶变换 (DTFT)，各种想办法，才发现傅里叶变换的频率变量之间有着紧密的关联，一环扣一环。冈萨雷斯没有讲离散时间傅里叶变换 (DTFT)，而其他傅里叶变换也是自己是自己。不建立知识点之间的关联的人只能说明他弱，站位低。

傅里叶级数 (FS)

1. 连续时间傅里叶级数

   • 正变换
     $$X_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}k{\Omega }_{0}t}dt$$
   • 逆变换
     $$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{X}_k{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}k{\Omega }_{0}t}$$
     其中$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$，$X_k$表示傅里叶复系数。

2. 离散时间傅里叶级数

   • 正变换
     $$\tilde{X}(k)=\text{DFS}[\tilde{x}(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{2\pi }{N}kn},k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$
   • 逆变换
     $$\tilde{x}(n)=\text{IDFS}[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{2\pi }{N}kn},n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

连续时间傅里叶变换 (CTFT)

1. 正变换
   $$X(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t$$
   将时域信号$x(t)$ 转换为频域信号$X(\omega )$。

2. 逆变换
   $$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}d\omega$$
   将频域信号$X(\omega )$ 转换回时域信号$x(t)$。

离散时间傅里叶变换 (DTFT)

1. 正变换
   $$X({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega n}$$
   将离散时间序列$x[n]$ 转换为频域信号$X({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega })$。

2. 逆变换
   $$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega }){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega n}d\omega$$
   将频域信号$X({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega })$ 转换回离散时间序列$x[n]$。

离散傅里叶变换 (DFT)

1. 正变换
   $$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\dots ,N-1$$
   将有限长离散时间序列$x[n]$ 转换为离散频域序列$X[k]$。

2. 逆变换
   $$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{2\pi }{N}kn},n=0,1,\dots ,N-1$$
   将离散频域序列$X[k]$ 转换回有限长离散时间序列$x[n]$。

频率概念	定义	适用的傅里叶变换	相关公式
基本频率（基频）（Hz）	信号周期性重复的最低频率，周期$T$的倒数。	连续傅里叶级数	$f_0=\frac{1}{T}$ ${\omega }_0=2\pi f_0$
谐波频率（Hz）	基频的整数倍（$n\cdot f_0$，$n\in {\mathbb{N}}^{+}$）。	连续傅里叶级数	$f=n\cdot f_0$ ${\omega }_n=n\cdot {\omega }_0$
角频率（rad/s）	频率的角速度表示，单位为弧度/秒（rad/s），与频率的关系为$\Omega =2\pi F$。	连续傅里叶变换（CTFT）	$\Omega =2\pi F$
频率（Hz）	单位时间内信号重复的次数，单位为赫兹（Hz）。	连续傅里叶变换（CTFT）	$F=\frac{1}{T}$
归一化角频率	将角频率归一化到采样频率的范围，$\omega =\frac{\Omega }{F_s}$，范围$[-\pi ,\pi ]$。	离散时间傅里叶变换（DTFT）	$\omega =\frac{\Omega }{F_s}$ $\Omega =\omega \cdot F_s$
归一化频率	将频率归一化到采样频率的范围，$f=\frac{F}{F_s}$，范围$[0,0.5]$。	离散时间傅里叶变换（DTFT）	$f=\frac{F}{F_s}$ $F=f\cdot F_s$
频率序号（$k$）	离散傅里叶变换（DFT）中频率的索引，$k=0,1,2,\dots ,N-1$。	离散傅里叶变换（DFT）	$f_k=\frac{k}{N}$ ${\omega }_k=\frac{2\pi k}{N}$