Floyd算法

　　正如我们所知道的，Floyd算法用于求最短路径。Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)。

　　Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

　　很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

 1 for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i )

 2 {

 3     for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j )

 4     {

 5         for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k )

 6         {

 7             if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )

 8             {

 9                 // 找到更短路径

10                 Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];

11             }

12         }

13     }

14 }

　　但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点X放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

　　让我们来看一个例子，看下图：

                     

　　图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：

 1 for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k )

 2 {

 3     for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i )

 4     {

 5         for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j )

 6         {

 7             if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )

 8             {

 9                 // 找到更短路径

10                 Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];

11             }

12         }

13     }

14 }

　　这样一来，对于每一个节点X，我们都会把所有的i到j处理完毕后才继续检查下一个节点。

　　那么接下来的问题就是，我们如何找出最短路径呢？这里需要借助一个辅助数组Path，它是这样使用的：Path(AB)的值如果为P，则表示A节点到B节点的最短路径是A->...->P->B。这样一来，假设我们要找A->B的最短路径，那么就依次查找，假设Path(AB)的值为P，那么接着查找Path(AP)，假设Path(AP)的值为L，那么接着查找Path(AL)，假设Path(AL)的值为A，则查找结束，最短路径为A->L->P->B。

　　那么，如何填充Path的值呢？很简单，当我们发现Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)成立时，就要把最短路径改为A->...->X->...->B，而此时，Path(XB)的值是已知的，所以，Path(AB) = Path(XB)。

　　好了，基本的介绍完成了，接下来就是实现的时候了，这里我们使用图以及邻接矩阵：

 1 #define INFINITE 1000           // 最大值

 2 #define MAX_VERTEX_COUNT 20 　　// 最大顶点个数

 3 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 4  

 5 struct Graph

 6 {

 7     int     arrArcs[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];    // 邻接矩阵

 8     int     nVertexCount;                               　　// 顶点数量

 9     int     nArcCount;                                  　　// 边的数量

10 };

11 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　首先，我们写一个方法，用于读入图的数据：

 1 void readGraphData( Graph *_pGraph )

 2 {

 3     std::cout << "请输入顶点数量和边的数量: ";

 4     std::cin >> _pGraph->nVertexCount;

 5     std::cin >> _pGraph->nArcCount;

 6  

 7     std::cout << "请输入邻接矩阵数据:" << std::endl;

 8     for ( int row = 0; row < _pGraph->nVertexCount; ++row )

 9     {

10         for ( int col = 0; col < _pGraph->nVertexCount; ++col )

11         {

12             std::cin >> _pGraph->arrArcs[row][col];

13         }

14     }

15 }

　　接着，就是核心的Floyd算法：

 1 void floyd( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )

 2 {

 3     // 先初始化_arrPath

 4     for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )

 5     {

 6         for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )

 7         {

 8             _arrPath[i][j] = i;

 9         }

10     }

11     //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

12  

13     for ( int k = 0; k < _nVertexCount; ++k )

14     {

15         for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )

16         {

17             for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )

18             {

19                 if ( _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j] < _arrDis[i][j] )

20                 {

21                     // 找到更短路径

22                     _arrDis[i][j] = _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j];

23  

24                     _arrPath[i][j] = _arrPath[k][j];

25                 }

26             }

27         }

28     }

29 }

　　OK，最后是输出结果数据代码：

 1 void printResult( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )

 2 {

 3     std::cout << "Origin -> Dest   Distance    Path" << std::endl;

 4  

 5     for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )

 6     {

 7         for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )

 8         {

 9             if ( i != j )   // 节点不是自身

10             {

11                 std::cout << i+1 << " -> " << j+1 << "\t\t";

12                 if ( INFINITE == _arrDis[i][j] )    // i -> j 不存在路径

13                 {

14                     std::cout << "INFINITE" << "\t\t";

15                 }

16                 else

17                 {

18                     std::cout << _arrDis[i][j] << "\t\t";

19  

20                     // 由于我们查询最短路径是从后往前插，因此我们把查询得到的节点

21                     // 压入栈中，最后弹出以顺序输出结果。

22                     std::stack<int> stackVertices;

23                     int k = j;

24                      

25                     do

26                     {

27                         k = _arrPath[i][k];

28                         stackVertices.push( k );

29                     } while ( k != i );

30                     //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

31  

32                     std::cout << stackVertices.top()+1;

33                     stackVertices.pop();

34  

35                     unsigned int nLength = stackVertices.size();

36                     for ( unsigned int nIndex = 0; nIndex < nLength; ++nIndex )

37                     {

38                         std::cout << " -> " << stackVertices.top()+1;

39                         stackVertices.pop();

40                     }

41  

42                     std::cout << " -> " << j+1 << std::endl;

43                 }

44             }

45         }

46     }

47 }

　　好了，是时候测试了，我们用的图如下：

                    

　　测试代码如下：

 1 int main( void )

 2 {

 3     Graph myGraph;

 4     readGraphData( &myGraph );

 5     //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 6  

 7     int arrDis[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];

 8     int arrPath[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];

 9  

10     // 先初始化arrDis

11     for ( int i = 0; i < myGraph.nVertexCount; ++i )

12     {

13         for ( int j = 0; j < myGraph.nVertexCount; ++j )

14         {

15             arrDis[i][j] = myGraph.arrArcs[i][j];

16         }

17     }

18  

19     floyd( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );

20     //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

21  

22     printResult( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );

23     //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

24  

25     system( "pause" );

26     return 0;

27 }

　　如图：

                          

　　非原创，原文链接：http://www.cnblogs.com/twjcnblog/archive/2011/09/07/2170306.html

　　Ok哒~