经典01背包问题解答推导过程

问题描述

有一个容量为 C 的背包，有 N 个物品，每个物品的重量列表为 weights，价值列表为 values，问可以放入背包的的物品的最大价值是多少。

问题分析

要更好的理解动态规划的解法，就应该从暴力解法出发，因为动态规划本质上就是一种优化后的暴力解法。假设现在我们准备用 dfs 解决这个问题，那么怎么定义 dfs 函数呢？
首先，定义原问题，数组的前 N 个物品，在背包容量为 C 时，把物品装入背包，可以获得的最大价值。从原问题出发，从后向前考虑每一个物品。考虑最后一个物品，此时有两种情况：

1. 物品容量大于背包容量，显然这个物品无法选择，问题变成数组的前 N - 1 个物品，在背包容量为 C 时，把物品装入背包，可以获得的最大价值。
2. 物品容量小于等于背包容量，物品可以放入背包。注意，此时我们也有两种选择：放或者不放。假设放进去，问题就变成数组的前 N - 1 个物品，在背包容量为 C - weights[i] 时，把物品装入背包，可以获得的最大价值。假设不放进去，问题就变成数组的前 N - 1 个物品，在背包容量为 C 时，把物品装入背包，可以获得的最大价值。

函数定义

注意此时的情况 2，一旦我们选择放入物品，背包容量就会发生变化，这启发我们，背包容量应该是一个变量，在搜索的过程中，这个值会发生变化。基于以上分析，定义如下 dfs() 函数。

def dfs(i, j):
    if i == -1:
        return 0
    if j < weights[i]:
        return dfs(i - 1, j)
    return max(dfs(i - 1, j), dfs(i - 1, j - weights[i]) + values[i])

下面开始解释代码：

• dfs(i, j) 表示以下标 i 结尾的物品列表，在背包容量为 j 时，可以放入背包的最大的价值ÿ