位运算练习：起床困难综合征（贪心，位运算）（算法竞赛进阶指南学习笔记）

前情提要

一些基础运算操作用法看看上一篇；

起床困难综合征（贪心，位运算）

题目原文

[P2114 NOI2014] 起床困难综合症 - 洛谷

思路分析

题目很长，意思是让我们在[0,m]之间选一个数x，在经过给定的n次运算后，使最后的结果an尽可能的大；

最简单的思路可是枚举1~m的所有数，最后找到最大的那个数就是所求的答案；但是m的范围去到了10⁹所以会超时不能过所有的点；

因为给出的操作都是位运算所以不难想到这题需要利用位运算去模拟；在这里就用到了位、位运算在二进制数表示下不用进位的特点；所以我们选取的数x时参与运算的各个位置上的数之间都是独立的互不影响的；所以我们就可以去利用贪心的思想；从最高位遍历到在低位；依次考虑每一位上去填几；

用二进制数去模拟只用一次判断每一位上的情况即可；枚举所有m的情况，m取到10⁹相当于2²⁹左右，所以在二进制下最多29位；大大缩短了时间；

比如在x的第i位时：

• 已经填好的更高位构成的数加上1<后不超过m并且用每个操作时的数的第i位和x的第i位运算过后不改变第i为上原本的值（操作前后相等）；此时我们就可以在an的第i位上填上1；
• 如果不满足上面的情况，就说明填1可能会超过m的范围或者不如0更优；所以就填0；

#include
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define fi first
#define se second
const int N=1e7;
pair <string,int> a[N];
int n,m;
int f(int w,int x){ // 位数，当前位的数
	for(int i=1;i<=n;i++){ // n组操作
		int c=a[i].se>>w&1; // 把每个操作对应的数的对应位上的数截出来
		if(a[i].fi[0]=='A')
		x&=c;
		if(a[i].fi[0]=='O')
		x|=c;
		if(a[i].fi[0]=='X')
		x^=c;
	}
	return x;
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i].fi>>a[i].se; // 先将操作存起来
	int val=0,an=0; // 当前的值，和答案值
	for(int i=29;i>=0;i--){ // 枚举所有m的情况，m取到10的9次方，在二进制下最多29位
		int x0=f(i,0); // 这一位是0时操作后的值
		int x1=f(i,1); // 这一位是1时操作后的值
		if(val+(1<<i)<=m&&x0<x1) // 不超m，并且1比0大
		val+=1<<i,an+=x1<<i; // 就选1作为这一位
		else
		an+=x0<<i; // 反之选0
	}
	cout<<an;
} 

当然在这里也可以进行简化；

初始两个变量一个全为0（也就是0）一个全为1（也就是 -1 因为二进制数的第一位表示符号，所以要想全是1那就取-1就好了 ）去进行题目给出的操作；

其实就是把上面

int x0=f(i,0); // 这一位是0时操作后的值
int x1=f(i,1); // 这一位是1时操作后的值

这一部分给提前处理了；最后贪心的时候还需要每一位分开看；

最后得到两个结果；贪心时就能用0换1就换，能用1换1也换，不能换不换就好了；

#include
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
const int N=1e7;
signed main(){
	int n,m;cin>>n>>m;
	int x=0,y=-1; // 初始两个全1和全0的状态
	while(n--){
		string a;cin>>a;
		int c;cin>>c;
		if(a[0]=='A')
		x&=c,y&=c;
		if(a[0]=='O')
		x|=c,y|=c;
		if(a[0]=='X')
		x^=c,y^=c;
	}
	int an=0;
	for(int i=29;i>=0;i--){ // 枚举每一位上的情况，贪心的思路与上面类似
		if(x>>i&1)			// 这里是不能填0的情况就变成1
		an+=1<<i; 
        else if(y>>i&1&&(1<<i)<=m)
		an+=1<<i,m-=1<<i; // 直接在m上面减就不用在设立val变量
	}
	cout<<an<<endl;
} 

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