题解：蓝桥杯 2024 总决赛 重复的串

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思路

看到字符串匹配，方案数关键字，自然想到 dp 与 kmp 算法的结合，看到 $n$ 的数量比较大，不用慌，先把朴素的方程想出来再优化。

一般地可以想到方程 $dp[i][j][k]$ 为字符串序列长度为 $i$ 并且当前匹配到模式串的长度为 $j$ ，总匹配次数恰好为 $k$ 次的方案数。转移的方式就是，我们枚举每个 $i,j,k$ 再枚举当前状态下填的字母，通过 kmp 进行匹配，计算出下一个可转移的状态。代码：

dp[0][0][0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
	for (int k = 0; k <= 2; k++)
		for (int j = 0; j < m; j++) //枚举每个状态
			for (char ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) { //枚举当前状态填的字母
				int st = j;
        // nex 数组预处理过程省略
				while (st && str[st + 1] != ch) st = nex[st];
				if (str[st + 1] == ch) st++;
				if (st == m) { //如果完全匹配成功可转移到 k + 1
					dp[i + 1][nex[st]][k + 1] = (dp[i + 1][nex[st]][k + 1] + dp[i][j][k]) % MOD;
				}
				else dp[i + 1][st][k] = (dp[i + 1][st][k] + dp[i][j][k]) % MOD;
			}
ans = 所有j的dp[n][j][2]之和;

上面的方程可以通过一部分的数据，但我们可以做的更好。

通过观察发现，对于每个 $j$ 填的下一个字母，它可以转移的状态是固定的！比如样例中的 aba在 $j=0$ 的情况下，不管 $i,k$ 是多少，只要填字母 a 就最终总是会到达状态 $j=1$；只要填字母 b 总是会到状态 $j=0$。于是，我们就考虑使用矩阵加速递推，关于矩阵加速递推可以参考 OI-WIKI。

代码

#include 
#include 
using namespace std;
#define MAX_N 105
#define ll long long
const ll MOD = 998244353LL;
char str[MAX_N];
int nex[MAX_N] = { 0 };
ll arr[MAX_N][MAX_N] = { 0 };
ll temp[MAX_N][MAX_N] = { 0 };
ll ret[MAX_N][MAX_N] = { 0 };
//矩阵乘法
void multi(ll a[MAX_N][MAX_N], ll b[MAX_N][MAX_N], int n, int m, int k) {
	memset(temp, 0, sizeof temp);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int c = 0; c < k; c++)
			for (int r = 0; r < m; r++)
				temp[i][c] = (temp[i][c] + a[i][r] * b[r][c] % MOD) % MOD;
	memcpy(a, temp, sizeof temp);
}
//矩阵快速幂
void quick_mi(ll b, int n) {
	while (b) {
		if (b % 2) multi(ret, arr, n, n, n);
		multi(arr, arr, n, n, n);
		b /= 2;
	}
}
int n, m;
void get_nex() {
	nex[0] = nex[1] = 0;
	for (int i = 2, j; i <= m; i++) {
		j = i - 1;
		while (j && str[nex[j] + 1] != str[i]) j = nex[j];
		if (j) nex[i] = nex[j] + 1;
		else nex[i] = 0;
	}
}
//给每个状态分配一个下标
int get_ind(int j, int k) {
	return j + k * (m + 1);
}
ll matrix[MAX_N][MAX_N] = { 0 };
int main() {
	scanf("%s", str + 1);
	scanf("%d", &n);
	m = strlen(str + 1);
	get_nex();
	//初始化单位矩阵
	for (int x = 0; x < (m + 1) * 3; x++)
		ret[x][x] = 1;
	for (int k = 0; k <= 2; k++)
		for (int j = 0; j < m; j++)
			for (char ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) {
				int st = j;
				while (st && str[st + 1] != ch) st = nex[st];
				if (str[st + 1] == ch) st++;
				if (st == m) {
					if (k != 2) arr[get_ind(j, k)][get_ind(nex[st], k + 1)]++;
				}
				else arr[get_ind(j, k)][get_ind(st, k)]++;
			}
	matrix[0][get_ind(0, 0)] = 1;
	quick_mi(n, (m + 1) * 3);
	multi(matrix, ret, 1, (m + 1) * 3, (m + 1) * 3);
	ll ans = 0;
	for (int j = 0; j <= m; j++)
		ans = (ans + matrix[0][get_ind(j, 2)]) % MOD;
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}