【学习笔记】exBSGS

exBSGS

$$a^x\equiv b(\mathrm{mod}p)$$

跟 BSGS 差不多，只是多了 $p$ 可以不为质数这一条件。

做法

首先你需要知道一个同余方程的性质：

给定一个同余式 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$。

若存在 $d$ 满足 $d|a,d|b,d|p$，那么则有 $\frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}(\mathrm{mod}\frac{p}{d})$。

那么这题就非常简单了。

我们令 $d=\gcd (a,p)$，则可以将其转化为 $\frac{a}{d}\times a^{x-1}\equiv \frac{b}{d}(\mathrm{mod}\frac{p}{d})$，一直重复直到 $a$ 与 $p$ 互质。

设执行了 $cnt$ 次，那么则有 $(\frac{a}{d}{)}^{cnt}\times a^{x-cnt}\equiv \frac{b}{d^{cnt}}(\mathrm{mod}\frac{p}{d^{cnt}})$。就可以将其转化为 BSGS 来做了。

Code

#include
#define IOS cin.tie(0),cout.tie(0),ios::sync_with_stdio(0)
#define mod 998244353
#define ll long long
#define db double
#define pb push_back
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof x)
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=1e5+5;
const ll INF=1ll<<60;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b) x=1,y=0;
	else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
ll gcd(ll a,ll b){
	if(!b) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
ll fpow(ll a,ll b,ll p){
	ll ans=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) ans=ans*a%p;
		a=a*a%p; 
	}
	return ans;
}
ll calc(ll a,ll p){
	ll x=0,y=0;
	exgcd(a,p,x,y);
	x=(x%p+p)%p;
	return x;
}
ll BSGS(ll g,ll a,ll p){
	unordered_map<ll,ll> m;
	a%=p;
//	if(!g) return !a?1:-1;
	ll B=(ll)sqrt(p)+1;
	ll k=a,ng=calc(g,p),gB=1;
	for(int i=0;i<B;i++){
		if(!m[k]) m[k]=i+1;
		k=k*ng%p;
		gB=gB*g%p;
	}
	ll temp=1;
	for(int i=0;i<=B;i++){
		if(m[temp]) return (i*B%p+m[temp]-1)%p;
		temp=temp*gB%p;
	}
	return -1;
}
ll exBSGS(ll a,ll b,ll p){
	a%=p;b%=p;
	ll cnt=0,d=gcd(a,p),tot=1;
	while((d=gcd(a,p))^1){
		if(tot==b) return cnt;
		if(b%d) return -1;
		cnt++;b/=d;p/=d;
		tot=a/d*tot%p;
	}
	ll ntot=calc(tot,p);
	b=b*ntot%p;
	ll ans=BSGS(a,b,p);
	if(ans!=-1) return ans+cnt;
	return -1;
}
bool solve(){
	ll a,b,p;
	cin>>a>>p>>b;
	if(!p) return 0;
	ll ans=exBSGS(a,b,p);
	if(ans==-1) cout<<"No Solution\n";
	else cout<<ans<<"\n"; 
	return 1;
}
int main(){
	IOS;int T=1;
//	cin>>T;
	while(solve());
	return 0;
}

注：

1. 如果 $b$ 不被 $d$ 整除，则直接返回无解。
2. 答案可能小于 $cnt$，我们必须枚举 $[0,cnt-1]$ 的解，看是否存在解。

$\mathbb{END}$