[摘记]数值方法15——偏微分方程

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。

偏微分方程通常根据其特征线或信息传播曲线分为三种类型，双曲型、抛物型或椭圆型。双曲型方程的典型例子就是一维波动方程：

抛物型方程的模型方程是扩散方程

椭圆型方程的模型方程是泊松方程

但从计算的角度来看，最重要的分类方法是：眼前的问题是初值问题（随时间的发展）还是边值问题（静态解）。

 

1. 通量守恒的初值问题

形式如下：

根据欧拉向前差分法，采用LAX修正的FTCS方法进行计算

 

2. 扩散初值问题

使用半隐式的方法，将向前与向后的差分格式相加，转化为Crank-Nicolson格式。

 

3. 多维初值问题

用以上方法推广到N+1空间，虽然结果精确，但计算量巨大。

 

4. 边值问题的傅里叶方法和循环约简法

大多数边值问题可约简为求解如下形式的、大型稀疏线性矩阵：Au=b。如果稀疏矩阵具有某种常见的确定形式时，两种重要的技巧可快速求得上式的解。傅里叶变换法适用于方程具有空间域上的常数系数时；而循环约简法的适用性与方程是否可分有关。

 

5. 边值问题的松弛法

有两种经典的方法，雅可比方法，但收敛很慢；Gauss-Seidel方法，收敛的也很缓慢，但一些分析还是很有启发性的。

 

6. 边值问题的多重网格法

(sorry，LZ已阵亡)

 

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