Mandelbrot集合成像的一段Mathematica代码解析

在Mathematica中，我们可以有很多种方法绘制Mandelbrot集合，比如其中一种实现方案：

Graphics@ Raster@ Rescale@ Table[ Length@ NestWhileList[ #^2 + x + I y &, 0, Norm@# < 2 &, {1, 2}, 40 ], {y, -1.3, 1.3, 0.01}, {x, -2.6, 1.3, 0.01} ]

这么短的一段代码，就能绘制出Mandelbrot集合的图像。 对于不熟悉Mathematica语言的朋友，这确实是有点儿莫名其妙。今天我们就来解开这里面的秘密。

函数NestWhileList

这里调用的语法为：

NestWhileList[f,expr,test,{mmin,m},max_iter]

主要是说：在至少生成 mmin 结果之前不会开始应用测试；然后，在每个步骤中，它提供参数来测试尽可能多的最新结果，最大为 m；且最大迭代次数为max_iter.

在这里：mmin=1，m=2。也就是说，在迭代产生元素的范数小于1时，不进行‘范数小于2’（Norm@#）的检测。这样会节省很多计算时间【不信的话，你可以拿掉{1,2}这个条件试一下 :-)】

简单测试：

c := {-0.25, 0.4}; (*可改变来观察产生的List*) NestWhileList[ #^2 + Complex @@ c &, 0, Norm@# < 2 &, {1, 2}, 40 ]

函数Rescale

这里调用的语法为：

Rescale[list]

将list中的元素做标准化处理，返回0到1之间的值。在这里，复合函数Rescale@Table[Length@...]返回一个表格，其元素为像素点x+iy在迭代下的逃逸时间（list的长度）的标注化数值（在0和1之间）。

函数Raster

这里调用的语法为：

Raster[{{a11,a12,…},…}]

返回一个二维图表像素值。进一步地，可以使用图像函数Graphics将这个图标输出。

简单测试：

Graphics@ Raster@ Rescale@ Table[x^2 + y^2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

一个稍复杂的案例

如果将长度取对数，有利于观测到不同迭代次数之间的不同：

Graphics@ Raster@ Rescale@ Table[ Log@Length@ NestWhileList[ #^2 + x + I y &, 0, Norm@# < 2 &, {1, 2}, 40 ], {y, -1.3, 1.3, 0.01}, {x, -2.6, 1.3, 0.01} ]