[HNOI2008 Tree]

[关键字]：Prüfer编码 Cayley定理

[题目大意]：告诉你N结点的树上部分点的度数,求这样的树一共有多少棵.

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[分析]：刚刚看到这题时一点思路也没有，又想了一会儿，还是没思路……这题其实和Prüfer编码Cayley定理有关系，Cayley定理：一个n个节点的无根树有n^n-2种形态。这个定理可以通过Prüfer编码来证明，见这里。通过Prüfer编码的推广可以得到n各右度限制的节点的无根树的个数，而n各有些有度限制的无根树个数怎么算呢？首先把有度限制的先算出来：

tot!/(d1-1)!/(d2-1)!……/(di-1)!(tot是所有度之和)，因为实在n-2个位置中选出tot个所以还有再乘C(n-2,tot)，而剩下的没有度限制的节点需要放在n-2-tot个位置，一共有

(n-tot)^(n-2-tot)种方案，所以总共的方案数为：(n-tot)^(n-2-tot)*C(n-2,tot)*tot!/(d1-1)!/(d2-1)!……/(di-1)!，稍微化简一下计算，除法要用分解质因数乘法要用高精度。

[代码]：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=10000;

int n,tot,now,c,sum;
int a[MAXN],s[MAXN],p[MAXN];
int ans[MAXN];
bool v[MAXN];

void Add(int x,int c)
{
     for (int i=1;i<=sum;++i)
         while (x%s[i]==0)
         {
               p[i]+=c;
               x/=s[i];
         }
}

void Cheng(int t)
{
     int k=0;
     for (int i=1;i<=c;++i)
     {
         ans[i]=ans[i]*t+k;
         k=ans[i]/10;
         ans[i]=ans[i]%10;
     }
     while (k)
     {
           ans[++c]=k%10;
           k=k/10;
     }
}

void Init()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if (a[i]!=-1) tot+=a[i]-1; else ++now;
    }
    memset(v,0,sizeof(v));
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!v[i]) s[++sum]=i;
        for (int j=1;(j<=sum && i*s[j]<=n);++j)
        {
            v[i*s[j]]=1;
            if (i%s[j]==0) break;
        }
    }
}

void Solve()
{
    for (int i=n-1-tot;i<=n-2;++i) Add(i,1);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (a[i]!=-1)
           for (int j=2;j<a[i];++j) Add(j,-1);
    for (int i=1;i<=n-2-tot;++i) Add(now,1);
    c=1;
    ans[1]=1;
    for (int i=1;i<=sum;++i)
        for (int j=1;j<=p[i];++j)
            Cheng(s[i]);
    for (int i=c;i>=1;--i)
        printf("%d",ans[i]);
    printf("\n");
}

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    Init();
    Solve();
    return 0;
}