【HDU 3037】大数组合取模之Lucas定理

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

题目大意：求在n棵树上摘不超过m颗豆子的方案，结果对p取模。

 

解题思路：

题目可以转换成  x1+x2+……+xn=m 有多少组解，m在题中可以取0~m。

利用插板法可以得出x1+x2+……+xn=m解的个数为C（n+m-1，m）；

则题目解的个数可以转换成求   sum=C（n+m-1，0）+C（n+m-1，1）+C（n+m-1，2）……+C（n+m-1，m）

利用公式C（n，r）=C（n-1，r）+C（n-1，r-1）  == >  sum=C（n+m，m）。

现在就是要求C（n+m，m）%p。

因为n，m很大，这里可以直接套用Lucas定理的模板即可。

Lucas（n，m，p）=C（n%p，m%p，p）*Lucas（n/p，m/p，p）；   ///这里可以采用对n分段递归求解，

Lucas（x，0，p）=1；

将n，m分解变小之后问题又转换成了求（a/b）%p。

（a/b）%p可以转换成a*Inv（b，p）  Inv（b，p）为b对p的逆元。

 

 1 #include <iostream>

 2 #include <cstdio>

 3 #include <algorithm>

 4 #include <cmath>

 5 #include <cstring>

 6 using namespace std;

 7 

 8 typedef long long lld;

 9 lld  n, m, p;

10 

11 lld Ext_gcd(lld a,lld b,lld &x,lld &y){

12    if(b==0) { x=1, y=0; return a; }

13    lld ret= Ext_gcd(b,a%b,y,x);

14    y-= a/b*x;

15    return ret;

16 }

17 lld Inv(lld a,int m){   ///求逆元

18    lld d,x,y,t= (lld)m;

19    d= Ext_gcd(a,t,x,y);

20    if(d==1) return (x%t+t)%t;

21    return -1;

22 }

23 

24 lld Cm(lld n, lld m, lld p)  ///组合数学

25 {

26     lld a=1, b=1;

27     if(m>n) return 0;

28     while(m)

29     {

30         a=(a*n)%p;

31         b=(b*m)%p;

32         m--;

33         n--;

34     }

35     return (lld)a*Inv(b,p)%p;  ///（a/b）%p 等价于 a*（b，p）的逆元

36 }

37 

38 int Lucas(lld n, lld m, lld p)  ///把n分段递归求解相乘

39 {

40     if(m==0) return 1;

41     return (lld)Cm(n%p,m%p,p)*(lld)Lucas(n/p,m/p,p)%p;

42 }

43 

44 int main()

45 {

46     int  T;

47     cin >> T;

48     while(T--)

49     {

50         scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);

51         printf("%d\n",Lucas(n+m,m,p));

52     }

53     return 0;

54 }