Catalan数

关于Catalan数的解释网上已经有很多了，这里写一下一个常用的Catalan数模型

出自《组合数学》：有n 个1和n个-1 ，求有多少个排列使得对任意前k个数，和>=0

分析：对于任意前k个数和>=0，这不好求，所以应该转化为反面问题：求有多少个排列使得存在1~k的一段和<0（我们称之为不合法排列）

考虑一个不合法序列，对于最小的K，使得存在1~k的一段和<0，就一定有1~k-1的和=0，Ak=-1;

那么考虑翻转前k个数，就得到了一个有n+1个1，n-1个-1的序列；

同时从反面说，对于每一个有n+1个1，n-1个-1的序列，都一定可以通过翻转前若干个数的到一个不合法排列。

以上两点说明翻转后的序列和我们要求的不合法序列是一一对应的

那么问题就转化为了求有n+1个1，n-1个-1的序列的个数。显然答案为(2n)/(n+1)!/(n-1)!

那么原问题就是总排列数-不合法序列数=(2n)!/n!/n!-(2n)/(n+1)!/(n-1)!

化简正好是Catalan数。

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考虑一个变形，有n个1和m个-1时，怎么做？

思路和刚才一样。翻转后我们可以得到有n+1个1，m-1个-1的序列。

每一个不合法序列对应一个有n+1个1，m-1个-1的序列，每一个有n+1个1，m-1个-1的序列都代表一个不合法序列。

同样的，每一个含有n+1个1，m-1个-1的序列和一个不合法序列一一对应

那么根据刚才的推导过程，最终答案为(m+n)!/m!/n!-(m+n)/(n+1)!/(m-1)!

这就是　SCOI 2010 字符串  的解法。

只不过原题是1和0，要求1的数量>=0的数量，和这个是一样的。

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同时，这个模型还可以转化成很多问题。+1和-1可以代表很多东西。

比如括号匹配：（和）对应+1和-1；

单调路径，→对应+1，↑对应-1；

还有著名的排队买票问题：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元每人。但现在2n个人中，n个人持有5元，n个人持有10元，且售票处开始时没有钱。问有多少种排队方式使得每个人都保证有钱找（或者不用找）？

把持有10元的人看做+1；5元的-1