从对偶问题到KKT条件

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从对偶问题到KKT条件

Apr 13, 2014

对偶问题(Duality)

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对偶性是优化问题中一个非常重要的性质,它能够神奇地将许多非凸的优化问题转化成凸的问题,关于这一理论,恐怕又是一个博大精深的横向领域,这里我们一切从简,就从线性规划(LP)问题的对偶问题讲起。

说到对偶,我总是会不自禁地想起射影几何的东西,不过这里的对偶和射影几何无关,我们先来看一个非常simple的线性规划问题:

min{x,y}x+3y
s.t.
x+y2
x0,y0

这个问题非常简单,相信初等数学里面这样的问题也是很常见的,最直接的做法就是画图,不等式表示平面的某个区域,然后目标函数是斜率给定的直线,通 过移动直线来获得最大的截距,求得问题的解。不过,不知道人们是否会发现,这些可行解似乎都是某几个不等式变成等式以后的方程组的解。可是,这个规律真的 通行无阻吗?

如果不能画图,比如不给草稿纸,不给笔(什么,你说要在大脑里画?),或者变量的个数非常多(Rn),这会你还能画吗?

看来光靠作图是行不通了,我们得另寻出路。于是想象一下这样,

x+y2
2y0
x+3y2

于是2成为了x+3y的一个下界,不过这里看起来也是下确界,于是问题解决!

再来看,

min{x,y}px+qy

s.t.

x+y2
x0,y0

我们令

a+b=p
a+c=q

于是,px+qy=a(x+y)+bx+cy2a,a0,b0,c02a为原问题的下界,于是我们可以求下面这个问题

maxa,b,c2a
s.t.
a+b=p
a+c=q
a,b,c0

直觉告诉我们(你也可以证明),后一个问题的解正是前一个问题的解,这后面那个问题就叫做原问题的对偶问题。

等等,如果你的数学足够好,你一定在嘀咕这是不是纯粹的毫无意义的奇技淫巧呢?一定在怀疑这样的方法能否推广呢?换句话说,每一个求最小的LP问题都能找到这样的求最大值的对偶问题吗?

我告诉你,答案是肯定的。

看下面这个一般性的LP问题,

假如,cRn,ARm×n,bRm,GRr×n,hRr,

原问题(primal)为,

maxxRncTx
s.t.
Ax=b
Gxh

其对偶问题(dual)可以写为,

maxuRm,vRrbTuhTvs.t.ATuGTv=vc0

写了那么多像变戏法一样的公式,我们来看看有没有更好的方式来理解它呢?

对于每个可行解x,cTxcTx+uT(Axb)+vT(Gxh):=L(x,u,v),这个式子显然是成立的,

C表示原问题可行解的集合,f表示原问题的最优解,则fminxCL(x,u,v)minxRnL(x,u,v)=g(u,v)成立。

于是g(u,v)就是f的下界,再注意到,g(u,v)有一些很好的性质,

g(u,v)={bTuhTvif c=ATuGTv

为了估计更“紧”的下界,我们要求g(u,v)的最大值,并且希望这个最大值正是原问题的最小值。

这个过程有点像很多生活中的事情,比如你去商店替公司买电脑,因为预算有限,上司提醒过你尽量买国产的便宜货,但是又要保证质量。你看了看,发现国 产的全部不超出预算,于是国产的电脑就成为了你本次购买花销的宽泛的下界,当然,你不希望电脑买回去三天就坏了,于是你在国产电脑中寻找比较贵的那种,希 望贵的质量好一些,就这样你顺利地完成了采购电脑的任务。

好了回到正题,我们知道,在线性规划(LP)问题中,对偶问题的解正是原问题的解。而且对偶问题里面几乎全是等式约束,看起来应该很好解决。

于是我们是不是可以洗洗睡了呢?慢!线性规划只是一个很naive的问题罢了,真正现实中的优化往往没那么简单,我们总会有各种麻烦,什么非线性 了,什么非凸了,甚至什么非连续不光滑了,总之现实世界总是和我们理想的数学世界差距太大,好比广告里的康师傅和现实中的康师傅(别忘了,“图片仅供参 考,以实物为准”。)。数学世界总是很简单,就像理想中的世界一样,一切秩序井然,但是工程的世界就好比真实的世界,各种社会问题,各种混乱层出不穷,要 是有机会,我真愿意在数学世界里呆上永远。

又说多了,下面我们忘掉LP问题,来看看更一般的约束优化问题。

minxRns.t.hi(x)lj(x)=f(x)00
i=1m,j=1r

我们定义一个在初等微积分中便已经听过的函数,拉格朗日函数

L(x,u,v)=f(x)+i=1muihi(x)+j=1rvili(x),u0

同样我们容易发现f(x)L(x,u,v)

C为原问题可行解的集合,f为原问题的最优解,则

fminxCL(x,u,v)minxRnL(x,u,v)=g(u,v)

我们称g(u,v)Lagrange对偶函数,它给出了f的下界。

于是我们有了Lagrange对偶问题

maxuRm,vRrg(u,v)
s.t.u0

这一次我们没法保证对偶问题的解就是原问题的解。我们只能胸有成竹地说fg成立。

这个性质被称作弱对偶性(weak duality)

理所当然,强对偶性(strong duality)是指f=g的情形了。

有个叫做Slater’s condition的东西,它告诉我们什么时候强对偶性成立,不过我们暂时不关心它,因为在实际中,即便是只有弱对偶性,往往对偶问题的解也已经满足要求了。 还有一个重要的性质,那就是对偶问题总是凸的,这可是解决优化问题的研究者们最大的福音了,因为对于凸的问题,军火库里有着一堆不同规格的武器,而对于非凸的,人们往往绞尽脑汁试图将其转化为凸优化问题。

好了回到原路,我们的目标是说明什么是KKT条件,到目前为止,我们已经知道了从LP到一般约束优化问题,对偶性怎样导致了Lagrange对偶问题的出现,

那么KKT在哪里呢?

不远了。

KKT

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在开始将这个KKT条件之前,我们先回顾一下Lagrange对偶问题。

理解数学的东西,例子是必不可少的。那么我们就来看一下一个例子。

考虑二次规划(QP),Q0

minxRn12xTQx+cTx
s.t.
Ax=b,x0

这个问题的Lagrange函数为

L(x,u,v)=12xTQx+cTxuTx+vT(Axb),u0

xL=0,我们得到x=Q1(cu+ATv),

于是 g(u,v)=L(x,u,v)=12(cu+ATv)TQTQQ1(cu+ATv)bTv=12(cu+ATv)TQ−1(c−u+ATv)−bTv,u≥0

好了,接下来我们来看KKT。

x表示原问题可行域中的解,u,v是对偶问题可行解,我们定义duality gap(不知道怎么翻译,对偶差异?)为,

f(x)g(u,v)

显然,我们有

f(x)ff(x)g(u,v)

上面这个式子,在算法的角度可是相当重要的,不过那是后话了。

对于一般性的约束优化问题

minxRnf(x)
s.t.
hi(x)0,lj(x)=0,i=1mj=1r

KKT 条件

  • 0f(x)+i=1muih(x)+j=1rvili(x)
  • uihi(x)=0,i
  • hi(x)0,lj(x)=0,i,j
  • ui0,i

这四个条件分别被称作stationarity,complementary slackness,primal feasibility,dual feasibility。

可以证明KKT条件是原问题解和对偶问题解存在且gap为0的充分条件,在强对偶性下,也是必要条件。

好了,现在我们看到了KKT条件的面目,但是仔细琢磨,就会发现这些条件,不过是前面推导Lagrange对偶问题过程中,理所当然的一些东西罢了。

首先stationarity(平稳性)不过是Lagrange函数求极值得到Lagrange对偶函数的过程中,所需的步骤罢了。

第二个条件需要稍微推导一下(利用gap为0),不过也是很simple的,窃以为这个条件才是最关键的东西。后两个条件则更trivial。

有了前一部分的东西,KKT条件的出现也应该是理所当然的。然而数学总是这样,一些很简单的东西,往往出现之前就是巨大的困难。

KKT是Karush-Kuhn-Tucker的缩写,虽然Karush更早提出了这个东西,不过一直不被人注意(数学上很多东西都是这样),不过 他也算幸运的,至少没有被从这个条件的名字中除去,相比而言,很多其他人则倒霉多了。不过指不定他心里根本不在乎这个空虚的名衔呢!

想必到此为止,你定然对Lagrange对偶和KKT条件的来龙去脉有了简单的认识了,你至少知道对偶问题是怎么来的,为什么以及什么时候能够等价于原问题,然后KKT条件不过是更加抽象的总结罢了。

接下来我们看一下KKT条件的各种出场。KKT条件使得我们能够直接分析一个优化问题,不必再劳神地写出Lagrange函数,求出对偶问题。它使 得我们能够依据原问题直接写出解的充要条件,得到一个新的问题,而这个新问题的求解往往有一些固定的套路和算法,但是口说无凭,到底方便在哪,我们到以后 再说。 同样,我们继续看二次规划问题,不过这次的约束条件都是等式约束。

对于Q0

minxRn12xTQx+cTx
s.t.Ax=0

利用KKT条件,我们可以得到原问题解x的充要条件,

对于某个u

[QAAT0][xu]=[c0]

[xu]视作整体,则原二次规划问题等价于上面的线性系统求解问题。

再看一个简单的例子,求f(x,y)=3x2+4y2+x5yx,y0时候的最小值。

由KKT条件,我们可以写出

6x+1u=0
8y5v=0
uxvy=0=0

简单分情况分析一下,我们就可以得到正确的解x=0,y=58

最后,让我们来看一个复杂一些的问题,这个问题涉及到矩阵分解,

已知矩阵X,L,我们要找到矩阵U,V,满足

minf(U,V)=tr((XUVT)(XUVT)T)+λtr(VTLV)

其中U,V都是非负矩阵。

于是令Ψ,Φ分别为uik0vjk0的Lagrange乘子,则

Lagrange函数可以写为

L=tr(XXT)2tr(XVUT)+tr(UVTVUT)+λtr(VTLV)+tr(ΨUT)+tr(ΦVT)

KKT条件告诉我

{LULV=2XV+2UVTV+Ψ=0=2XTU+2VUTU+2λLV+Φ=0
ψikϕjkuik=0vjk=0

因此我们可以得到如下方程:

{(XV)ikuik+(UVTV)ikuik(XTU)jkvjk+(VUTU)jkvjk+λ(LV)jkvjk=0=0

基于这个方程可以得到一个迭代求解上面该问题的算法。

具体么,我懒得写了。总之,KKT条件无所不在,只要你要处理优化问题,那就休想逃避它了。当然如果你只想永远做一个不求甚解的实践者,那么也不用操心它,不过有谁能丢下这么奇妙的数学,而不觉得可惜呢?

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