最短路径 之 SPFA算法

求最短路径的算法有许多种，除了排序外，恐怕是OI界中解决同一类问题算法最多的了。最熟悉的无疑是Dijkstra，接着是Bellman-Ford，它们都可以求出由一个源点向其他各点的最短路径；如果我们想要求出每一对顶点之间的最短路径的话，还可以用Floyd-Warshall。

SPFA是这篇日志要写的一种算法，它的性能非常好，代码实现也并不复杂。特别是当图的规模大，用邻接矩阵存不下的时候，用SPFA则可以很方便地面对临接表。每个人都写过广搜，SPFA的实现和广搜非常相似。

如何求得最短路径的长度值？

首先说明，SPFA是一种单源最短路径算法，所以以下所说的“某点的最短路径长度”，指的是“某点到源点的最短路径长度”。

我们记源点为S，由源点到达点i的“当前最短路径”为D[i]，开始时将所有D[i]初始化为无穷大，D[S]则初始化为0。算法所要做的，就是在运行过程中，不断尝试减小D[]数组的元素，最终将其中每一个元素减小到实际的最短路径。

过程中，我们要维护一个队列，开始时将源点置于队首，然后反复进行这样的操作，直到队列为空：

(1)从队首取出一个结点u，扫描所有由u结点可以一步到达的结点，具体的扫描过程，随存储方式的不同而不同；

(2)一旦发现有这样一个结点，记为v，满足D[v] > D[u] + w(u, v)，则将D[v]的值减小，减小到和D[u] + w(u, v)相等。其中，w(u, v)为图中的边u-v的长度，由于u-v必相邻，所以这个长度一定已知（不然我们得到的也不叫一个完整的图）；这种操作叫做松弛。

引用内容

松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对i,j进行松弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j]，否则不动。

(3)上一步中，我们认为我们“改进了”结点v的最短路径，结点v的当前路径长度D[v]相比于以前减小了一些，于是，与v相连的一些结点的路径长度可能会相应地减小。注意，是可能，而不是一定。但即使如此，我们仍然要将v加入到队列中等待处理，以保证这些结点的路径值在算法结束时被降至最优。当然，如果连接至v的边较多，算法运行中，结点v的路径长度可能会多次被改进，如果我们因此而将v加入队列多次，后续的工作无疑是冗余的。这样，就需要我们维护一个bool数组Inqueue[]，来记录每一个结点是否已经在队列中。我们仅将尚未加入队列的点加入队列。


算法能否结束？

对于不存在负权回路的图来说，上述算法是一定会结束的。因为算法在反复优化各个最短路径长度，总有一个时刻会进入“无法再优化”的局面，此时一旦队列读空，算法就结束了。然而，如果图中存在一条权值为负的回路，就糟糕了，算法会在其上反复运行，通过“绕圈”来无休止地试图减小某些相关点的最短路径值。假如我们不能保证图中没有负权回路，一种“结束条件”是必要的。这种结束条件是什么呢？

思考Bellman-Ford算法，它是如何结束的？显然，最朴素的Bellman-Ford算法不管循环过程中发生了什么，一概要循环|V|-1遍才肯结束。凭直觉我们可以感到，SPFA算法“更聪明一些”，就是说我们可以猜测，假如在SPFA中，一个点进入队列——或者说一个点被处理——超过了|V|次，那么就可以断定图中存在负权回路了。


最短路径本身怎么输出？

在一幅图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度是73，有时候意义不大。这附图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？

Path[]数组，Path[i]表示从S到i的最短路径中，结点i之前的结点的编号。注意，是“之前”，不是“之后”。最短路径算法的核心思想成为“松弛”，原理是三角形不等式，方法是上文已经提及的。我们只需要在借助结点u对结点v进行松弛的同时，标记下Path[v] = u，记录的工作就完成了。

输出时可能会遇到一点难处，我们记的是每个点“前面的”点是什么，输出却要从最前面往最后面输，这不好办。其实很好办，见如下递归方法：

程序代码

void PrintPath(int k){
        if( Path[k] ) PrintPath(Path[k]);
        fout<<k<<' ';
}

SPFA的代码怎么写？

我写了邻接表和邻接矩阵两种，两者想像起来是那么的不同，算法的思路上实在区别不大，只是用不同方式诠释“扫描”的过程而已。只给出SPFA的单个函数，我不觉得很容易看懂，但是我仍然把两个程序的SPFA函数放在下面。在日志的结尾处，有一个完整版文件下载。贴程序，首先是邻接表的：

程序代码

void SPFA(){
        for(int i=1; i<=gv; i++)
                Dist[i] = 100000;
        Dist[S] = 0;
        int closed = 0, open = 1;
        queue[1] = S;
        Inqueue[S] = true;
        do{
                closed++;
                node *tmp = connect[queue[closed]];
                Inqueue[queue[closed]] = false;
                while(tmp != NULL){
                        if( Dist[tmp->key] > Dist[queue[closed]] + tmp->w ){
                                Dist[tmp->key] = Dist[queue[closed]] + tmp->w;
                                Path[tmp->key] = queue[closed];
                                if( !Inqueue[tmp->key] ){
                                        Inqueue[tmp->key] = true;
                                        open++;
                                        queue[open] = tmp->key;
                                }
                        }
                        tmp = tmp->next;
                }
        }while(closed < open);
}

然后是邻接矩阵的：

程序代码

void SPFA(){
        for( int i=1; i<=gv; i++){
                Dist[i] = 100000;
                for( int j=1; j<=gv; j++)
                        if( !Graph[i][j] && i!=j) Graph[i][j] = 100000;
        }
        int closed = 0, open = 1;
        queue[1] = S;
        Dist[S] = 0;
        do{
                closed++;
                int u = queue[closed];
                Inqueue[u] = false;
                for(int i=1; i<=gv; i++)
                        if ( Dist[i] > Dist[u] + Graph[u][i] ){
                                Dist[i] = Dist[u] + Graph[u][i];
                                Path[i] = u;
                                if( !Inqueue[i] ){
                                        Inqueue[i] = true;
                                        open++;
                                        queue[open] = i;
                                }
                        }
        }while(closed < open);
}