从HD OJ 1005想到的

杭电OJ [1005](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1005):



#####Problem Description

> A number sequence is defined as follows: f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7. Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).



#####Input

> The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.



#####Output

> For each test case, print the value of f(n) on a single line.



#####Sample Input

> 1 1 3

1 2 10

0 0 0



#####Sample Output

> 2

5



题目对于那些ACM选手来说,肯定不是什么大问题,不过对于我们这种只能刷刷水题的人来说,还是有点困难的。



我看到题目之后的第一反应是对于每一个特定的A和B,每次的计算结果都存到数组里,这样不用每个输入都重新计算,可以节省一定量的时间,当时觉得这个想法已经不错了,但是还是TLE了。最后上网找了答案,发现很多答案里都提到f(n)的值其实是循环的,而且最大的循环长度不会超过49(即起码在n=49之前,f(n)的值就开始循环了,f(k)=f(1),f(k+1)=f(2),f(k+2)=f(3),...,k<=49)。但是网上很多文章并没有指出怎么才能发现,或者说推导出这个规律。最后我花了点时间,自己推了下才终于知道了发现规律的方法。



首先,观察到递推式里有mod 7,就知道f(n)的所有值都在[0, 6]之间,有7个取值。



然后,观察递推式,f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7,A和B是定常数,而f(n - 1)和f(n - 2)的取值都分别有7种可能,也就是说f(n)的取值最多有49种组合(这49种组合中,和可能相同,但是代表的意义不同,例如1+4和2+3是不同的,2+3和3+2也是不同的)。当n > 51时(因为这种组合是从n=3开始算的),f(n)的取值组合必然是之前出现过了的,也就是必存在

```

f(n) = f(k), f(n - 1) + f(n - 2) = f(k - 1) + f(k - 2)

f(n - 1) = f(k - 1)

f(n - 2) = f(k - 2)

```

但是其实我们可以知道,f(n) = 0 + 0,这种情况是不可能的(因为这样话很容易证明对于所有的n,f(n)都是为0),所以其实最多只有48种情况,即从n = 50开始,组合就必然出现重复了。

其次,我们知道了f(n)和f(k)的取值组合完全相同后,只要证明f(n + 1) = f(k + 1)的即可证明f(n)的取值在n > 49后必然存在循环。

```

f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)

f(n) = f(k)

f(n - 1) = f(k - 1)

```

由以上条件可知,f(n + 1) = f(k + 1),同理可以推导出f(n + 2) = f(k + 2),...,等等。并最终证明f(n)的值是循环的。



最后,我们已经证明了f(n)是存在循环的,最后要证明的是f(n)是整循环的,也就是说循环起始点应该是f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) = f(1) + f(2)。先假设f(n + 2) = f(5) = f(n + 1) + f(n) = f(4) + f(3),n是循环开始点,由假设可以推导出f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) = f(4) + f(3),f(n - 1)和f(3)之前存在两种可能:

1. f(n - 1) = f(3)

2. |f(n - 1) - f(3)| = 7

由f(n)的取值范围[0, 6]知,第二种情况是不可能的,所以f(n - 1) = f(3),所以n - 1是循环开始点,依次可以类推n - 2是循环开始点,...,直到f(n - k) = f(3) = f(n - k - 1) + f(n - k - 2) = f(2) + f(1),n - k - 2是循环开始点。所以由证明可知,如果n是循环开始点,则f(n) = f(1),f(n + 1) = f(2),...。



知道了f(n)的值是循环的之后,这道题目就很容易做了,只要求出循环开始点就行了,即f(i - 1) = 1, f(i) = 1。



具体实现代码如下:

#include <iostream>

using namespace std;



int f[50] = {0, 1, 1};

int a, b, n;

int main() {

    while (cin >> a >> b >> n) {

        if (a == 0 && b == 0 && n == 0) {

            break;

        }

        if (n > 2) {

            int i;

            for (i = 3; i <= 49; i++) {

                f[i] = (a * f[i - 1] + b * f[i - 2]) % 7;

                if (f[i] == f[2] && f[i - 1] == f[1]) {

                    break;

                }

            }

            i -= 2;

            n = n % i == 0 ? i : n % i;

        }

        cout << f[n] << endl;

    }

}
 
    







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