noip模拟题题解集

最近做模拟题看到一些好的题及题解。

 

升格思想：

核电站问题

一个核电站有N个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质，则会发生爆炸，于是，在某些坑中可能不放核物质。
任务：对于给定的N和M，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数

输入：输入文件只一行，两个正整数N，M( 1<N<50，2≤M≤5)

输出：输出文件只有一个正整数S，表示方案总数。

 

运用升格思想。设N个坑不会发生爆炸的方案数是f[N]，那么我们假设N以前的坑的方案

都已知了，那么我们只需要考虑第N个坑如何放即可（顺序是从左到右）。我们考虑两种情况：

1、当N这个坑放入物质，那么有两种可能，一种是因为之前放了连续的m-1个，现在放了就会爆炸，那么这种情况有f[N-1-m]种情况，这是要剪掉的。一种是不会发生爆炸，那么方案数就是f[N-1]。所以这个坑放入物质的方案有f[N-1]-f[N-1-m]。

2、当N这个坑不放入物质，那么方案直接就是f[N-1]。

所以f[N]=f[N-1]+f[N-1]-f[N-1-m]

其中f[0]=f[-1]=1

 

 

动态规划：最优化问题第一应该要想到动归

鹰蛋实验

在ural大学的一个教授的别墅上有一鹰巢。教授对这个鹰巢很感兴趣。经过仔细观察，他发现鹰巢中有若干枚蛋。于是他想利用这些蛋做一个试验。测试一下蛋的坚固程度。

这些蛋应该是具有相同的坚硬度。存在一个非负整数E，如果从楼的第E层往下扔蛋，但不会破，但如果从第E＋1层（包括高于E＋1层）扔，蛋就会破。你要做一组试验，来找出E。最简单的方法是一层层试。但是你有多个蛋试，不必用笨方法，可以用更少的次数找出E。注意这里的次数都是指对你的方法的最坏情况且蛋破了就不能再用，还有E可以取0。

如果实验到了最高层蛋还不破，则认为E取最高层的层数。

输入：一行，蛋的个数n和楼的层数n，k<=1000。（中间一个空格）

输出：最少实验次数。

 

第一次试验有10种选择——1到10层

如果选第3层，最坏情况下当然E!=3，如果E<3，蛋就碎了（关键！），那么还需要a[2][1]次

如果E>3，那么还需要a[7][2]次，由于考虑最坏情况，取两个的最大值，再加1

如果n层楼，m个蛋，其实就是

for(i=1;i<=n;i++) a[n][m]=min{1+max{a[i-1][m-1],a[n-i][m]}}

当然还要注意剪枝。

1000层楼，最多需要10个蛋

 

木棒分组

【题目描述】

有 n 根木棒,你需要将它们分成尽量多的组,满足每组木棒长度和相等。你不能将木棒砍断。输出最优方案下一组中木棒长度之和。

【输入格式】

第一行一个整数 n。接下来 n 个整数,表示 n 根木棒的长度

【输出格式】

一行一个整数,表示木棒长度之和

【样例输入】

4

2 5 3 4

【样例输出】

7

【数据范围】

70%的数据保证 n<=8

100%的数据保证 n<=50

这题数据很小我们可以考虑枚举组数（显然<=50，且能整除sigma(a[i])），然后因为对于组量，我们不需要考虑顺序，只需要考虑是否能够有足够的元素分成一组即可（但是要用最少的元素），所以我们用01背包来dfs，每一次就判断是否能在剩余的元素中找尽量少的元素匹配到sum/组数这个值。一定要注意初始化，因为这个问题我调试了老半天。。

 

拓展欧几里得是y-=a/b*x啊啊啊啊。不是y-=x*a/b啊啊啊，是取下界！！！！！

 

寂寞的程序员

【题目描述】

有两个寂寞的程序员 J 和 Y,J 说他可以两分钟敲 8000 字,Y 说不信,于是 J 与 Y的 4kb/min 机器人进行了一场打字比赛。机器人以匀高速敲着乱码,而 J 找到了帮他超越手速的键:CTRL。J 可以花不同的时间进行以下操作:

1. 敲一个字符

2. 按 CTRL-A

3. 按 CTRL-C

4. 按 CTRL-V

(具体效果请在记事本内实验)

你需要制定一个操作顺序,使得 J 在 n 毫秒内输入的字符数最多。

【输入文件】

第一行五个整数 n cost input cost CtrlA cost CtrlC cost CtrlV ,四个cost分别对应进行四个操作需要耗费的毫秒数

【输出文件】

一行一个整数,表示能够输入的最多字符数

【样例输入】

14 10 1 1 1

【样例输出】

2

【数据范围】

30%的数据保证 n ≤ 10

100%的数据保证 1 ≤ n ≤ 1,000; 1 ≤ cost ≤ n

 

这题的dp我一开始就想错了QAQsad。。我们只需要设状态d[i]表示i时刻最多能打的字，然后d[i]=max(d[i-ctrla-ctrlc-ctrlv-j*ctrlv]*(j+1))即可。。这个自己多想想吧，很容易的。所以以后我们看到诸种类型的题，即一个操作对其它的操作有依赖，那么直接将这些操作看做整体来做（但是要从头到尾扫一遍更新）

 

 

带*号的公共字串匹配

有串A和B，其中A中带*号的字符表示这个地方可赋值任意串（包括空串），问是否可以匹配A和B

设状态d[i,j]表示A中前i和B中前j是否能被匹配，则

d[1,0]=true 当 A[1]=’*’

d[0,0]=true

d[i,j]=d[i-1,j-1], A[i]==B[j]

d[i,j]=d[i-1,j-1] || d[i-1,j] || d[i,j-1], A[i]!=B[j]

 

 

状态压缩：

驴友

有一批驴友在深山中探险,他们来到了一个山洞的洞口。所有驴友都必须穿过这个山洞。可是山洞太窄,他们无法同时穿过山洞。因此,他们只能分成小组分别穿越山洞。然而,他们只有一个手电筒。因此一组人穿越山洞后,必须有人带着手电筒回来,直到最后一个人穿越山洞。

山洞中有座桥,每次穿越山洞的人必须同时过桥。然而,桥的承重量有限,不能承受超过m的质量,否则桥会垮掉。每个人的体重事先已经知道了。可以有单独一个驴友穿越山洞。当然,如果同时穿越山洞的小组人数多于一人,则每个人都必须至少要有另外一个他信任的人也在这个小组中。给定一个邻接矩阵T,T[i,j]等于”Y”则表示i信任j,否则i不信任j。每个人行走的速度不尽相同,因此一组人走的时候,按照其中走的最慢的人的速度行进。你已经知道了每个人分别穿越山洞所需的时间。请你求出,所有人都通过山洞所需的最小时间。如果不可能穿越山洞,输出-1。

【输入文件】

第一行两个整数n,m,表示总人数和桥的承重量。

接下来一行有n个整数,表示每个人的质量。接下来一行有n个整数,表示每个人通过山洞所需时间。

接下来是一个n×n的字符矩阵,只有‘Y’和‘N’两种字符,表示信任矩阵。

【输出文件】

一个整数,表示最小时间,戒者-1 表示无解。

【数据范围】

1 ≤ n ≤ 13 , 1 ≤ m ≤ 5000

 

看到n<=13就应该要想到状压。我们考虑两种状态，状态一和状态二。都表示当前人的情况。只不过状态一是表示还没进洞，状态二表示已经进洞。那么状态一转移到状态二显然就是两个状态的交这些人进了洞（反过来也行）。所以我们预处理所有的两边的可能情况，然后算出每种情况的最小费用，那么就在这些状态上连边。最后从没进洞的状态（所有人）跑一遍最短路，答案就是进洞的状态（所有人）。

 

以后看到数据范围<=15，可以优先想状压。

 

  

最短路：

逃生

小 J 在一次旅行中感染了一只可以分裂细菌,这种细菌在出现一分钟后会分裂成两只相同重量的细菌,其中一只不再分裂,另一只在一分钟后继续分裂。小 J 想尽快找到杀菌草药,然而可供行走的路并不多。山里共有 n 个水池与 m 条路,每条路连接两个水池,走过这条道路需要花费一定的时间。小 J 感染时在 s 号水池,杀菌草药生长在 t 号水池里。小 J 每经过一个水池时都要喝一口水来补充体力,但是细菌也会产生变化:现存所有细菌都会合体为一只,重量为所有细菌重量之和,合体一分钟后继续分裂。然而,小 J 并不知道这一点,每经过一个水池,他依然会去喝水。你需要为小 J 画出一条从 s 号水池到 t 号水池的路线,使得小 J 到达 t 号水池时身上的细菌重量最小。数据保证有且只有一组解。

【输入格式】

第一行四个整数 n m s t

接下来 m 行,每行三个整数 l r w,表示 l 号水池与 r 号水池间有一条道路,花费为 w 分钟(喝水不花费时间)。同一对 l r 之间可能有多条道路

【输出格式】

第一行一个整数 k,表示路线长度

接下来一行 k 个整数,依次表示你画出的路线中经过的每个点

【样例输入】

4 4 1 4

1 2 0

1 3 2

3 4 1

2 4 4

【样例输出】

3

1 2 4

【数据范围】

30%的数据保证 n ≤ 50; w ≤ 10

100%的数据保证 2 ≤ n ≤ 10000; 1 ≤ m ≤ 30000; 0 ≤ w ≤ 1000; s ≠ t; l ≠ r

 

很显然一下就能转换成 d[v]<=d[u]+d[u]*w[u, v]的三角不等式。但是对于这种数据，显然是会爆表的。。。。。我们考虑这样，

d[v]<=d[u]*(1+w[u, v]) -> 

log(d[v])<=log(d[u]*(1+w[u,v])) ->

log(d[v])<=log(d[u])+log(1+w[u,v])

那么我们直接将边权变成log然后相加就行了

  

 

分数规划：

越狱

【题目描述】

某监狱有一排 n 个连续的房间,每个房间有硬度不一的铁门,也关着个数不一的囚犯。一天,这些囚犯为了实现梦想而想筹划越狱,他们准备让一段连续的房间里的人冲出铁门控制狱卒,成功的可能性定义为暴动人数/铁门硬度和。为了分散狱卒注意力,暴动房间数不能少于 L。你作为狱卒里的内奸,需要制定一个成功的可能性最大的方案。若有多组解,输出任意一种。

【输入格式】

第一行两个整数 n L

第二行 n 个整数,第 i 个整数a i 表示第 i 个房间里的人数

第三行 n 个整数,第 i 个整数b i 表示第 i 个房间的铁门的硬度

【输出格式】

一行两个整数 s t,表示让s~t(包含 s,t)号房间的人暴动。

【样例输入】

3 2

1 2 3

3 2 1

【样例输出】

2 3

【数据范围】

30%的数据保证n ≤ 1,000100%的数据保证1 ≤ L ≤ n ≤ 100,000; 1 ≤ a i , b i ≤ 10,000

 

其实一开始看到除法我就想到了分数规划，但是不知道如何计算f(t)>=0。。。。

其实很简单。。。。我们处理好所有a[i]-d*b[i]后，只需要找>=L的区间的最大值即可。。。

而且O(n)就可以解决。。。就是维护一个前缀和，只需要每次维护一个最小前缀和（根据sum[r]-sum[l-1]要最大嘛）然后在维护最大值。然后不要写错check啊。。。我的check的返回值是bool然后在二分里判断check是<-eps。。。。Sad。。

 

说明区间给定长度求最值可以用前缀和实现O(n)

 

分数规划的话，还是老实自己推：

设B=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])的b是最值（即最优解），这里的x[i]表示第i个是否选择，且a[i]和b[i]都是已知的。

我们设F(A)=sigma(a[i]*x[i])-A*sigma(b[i]*x[i])

当F(A)>0时（假设现在是求最大值B），我们发现

sigma(a[i]*x[i])-A*sigma(b[i]*x[i])>0 即存在一种方案X使得

sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])>A，那么显然这时左式比A要优，那么A式就可以直接使用它（说明对于A来说，有更优的解，在二分里边的解释就是，F(mid)>0那么l=mid，即逼近下界）

我们再看一下F的变形

F(A)=sigma(a[i]*x[i])-A*sigma(b[i]*x[i])

=sigma((a[i]-A*b[i])*x[i])

显然a[i]-A*b[i]是可以直接求出来的，那么问题转化为求出一种方案X使得F(A)>0，

最小值的话同理

 

数论：

有限小数

【题目描述】

小 J 是一个严谨的人,他只能接受有限小数,而总有些数令他不爽,比如0.3 。一天,他发现0.3 在 3 进制下可以写成 0.1,在 30 进制下可以写成 0.A 等(A(30) = 10(10))。于是他坚信所有有理数都可以写成有限小数。然而,不断切换进制是很麻烦的工作,现在小 J 需要处理若干有理数,你需要告诉他最少需要几进制才能使它们都能写成有限小数。

【输入格式】

第一行一个整数 n。接下来 n 行,每行两个十进制整数 a b,表示一个分数

a

b

【输出格式】

一行一个十六进制整数,表示最小进制数

【样例输入】

2

1 33

1 99

【样例输出】

21

【数据范围】

100%的数据保证n ≤ 1,000; 1 ≤ a, b ≤ 100,000,000

 

设r = p1*p2*..*pk (pi为互不相等的质数)

设B = {b|b=p1^t1*p2^t2*..*pk^tk (ti>=0)}

充分性：对于任意b∈B，a/b可以在r进制下写成有限小数

必要性：对于任意c∉B，既约分数a/c不能在r进制下写成有限小数

printf(“%X”)的%X通配符可以直接输出16进制数。

 

 

计数：计数的话不是组合计数就是递推计数，注意好递推计数的抽象！

错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：

⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；

⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

 

Stirling数

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目。常用的表示方法有s(n,k),[nk]。

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)：

{A,B},{C,D}

{A,C},{B,D}

{A,D},{B,C}

{A},{B,C,D}

{A},{B,D,C}

{B},{A,C,D}

{B},{A,D,C}

{C},{A,B,D}

{C},{A,D,B}

{D},{A,B,C}

{D},{A,C,B}

这可以用有向图来表示。

给定s(n,0)=0,s(1,1)=1，有递归关系s(n+1,k)=s(n,k−1)+ns(n,k)

递推关系的说明：考虑第n+1个物品，n+1可以单独构成一个非空循环排列，这样前n种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(n,k-1)；也可以前n种物品构成k个非空循环排列，而第n+1个物品插入第i个物品的左边，这有n*s(n,k)种方法。

即s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)*s(n-1,k)

 

第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。常用的表示方法有S(n,k),S(k)n,{nk}。

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此S(4,1)=1；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此S(4,4)=1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

{A,B},{C,D}

{A,C},{B,D}

{A,D},{B,C}

{A},{B,C,D}

{B},{A,C,D}

{C},{A,B,D}

{D},{A,B,C}

因此S(4,2)=7。

给定S(n,n)=S(n,1)=1，有递归关系S(n,k)=S(n−1,k−1)+k*S(n−1,k)

递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空集合，此时前n-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合， 方法数为S(n-1,k-1)；也可以前n-1种物品构成k个非空的不可辨别的 集合，第n个物品放入任意一个中，这样有k*S(n-1,k)种方法。