生成树计数-Matrix-Tree定理

/*

 *算法引入：

 *给定一个无向图G，求它生成树的个数t(G);

 *

 *算法思想：

 *(1)G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:当i≠j时,dij=0;当i=j时,dij等于vi的度数;

 *(2)G的邻接矩阵A[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:如果vi,vj之间有边直接相连,则aij=1,否则为0;

 *定义图G的Kirchhoff矩阵C[G]为C[G]=D[G]-A[G];

 *Matrix-Tree定理:G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值；

 *所谓n-1阶主子式,就是对于r(1≤r≤n),将C[G]的第r行,第r列同时去掉后得到的新矩阵,用Cr[G]表示;

 *

 *Kirchhoff矩阵的特殊性质：

 *(1)对于任何一个图G,它的Kirchhoff矩阵C的行列式总是0,这是因为C每行每列所有元素的和均为0;

 *(2)如果G是不连通的,则它的Kirchhoff矩阵C的任一个主子式的行列式均为0;

 *(3)如果G是一颗树,那么它的Kirchhoff矩阵C的任一个n-1阶主子式的行列式均为1;

 *

 *算法举例：

 *SPOJ104(Highways)

 *

 *题目地址：

 *http://www.spoj.com/problems/HIGH/

 *

 *题目大意：

 *一个有n座城市的组成国家,城市1至n编号,其中一些城市之间可以修建高速公路;

 *需要有选择的修建一些高速公路,从而组成一个交通网络;

 *计算有多少种方案,使得任意两座城市之间恰好只有一条路径;

**/



#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

using namespace std;



const int N=15;



typedef long long LL;



int degree[N];

LL C[N][N];



LL det(LL a[][N],int n)//生成树计数:Matrix-Tree定理

{

    LL ret=1;

    for(int i=1; i<n; i++)

    {

        for(int j=i+1; j<n; j++)

            while(a[j][i])

            {

                LL t=a[i][i]/a[j][i];

                for(int k=i; k<n; k++)

                    a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t);

                for(int k=i; k<n; k++)

                    swap(a[i][k],a[j][k]);

                ret=-ret;

            }

        if(a[i][i]==0)

            return 0;

        ret=ret*a[i][i];

    }

    if(ret<0)

        ret=-ret;

    return ret;

}



int main()

{

    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin);

    int tcase;

    scanf("%d",&tcase);

    while(tcase--)

    {

        memset(degree,0,sizeof(degree));

        memset(C,0,sizeof(C));

        int n,m;

        scanf("%d%d",&n,&m);

        int u,v;

        while(m--)

        {

            scanf("%d%d",&u,&v);

            u--;

            v--;

            C[u][v]=C[v][u]=-1;

            degree[u]++;

            degree[v]++;

        }

        for(int i=0; i<n; ++i)

            C[i][i]=degree[i];

        printf("%lld\n",det(C,n));

    }

    return 0;

}