奔小康赚大钱

奔小康赚大钱

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2005    Accepted Submission(s): 853

 

Problem Description
传说在遥远的地方有一个非常富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革：重新分配房子。
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
 

 

Input
输入数据包含多组测试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。
 

 

Output
请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。

 

 

 

Sample Input
2
100 10
15 23
 

 

Sample Output
123
 

 

Source
HDOJ 2008 Summer Exercise（4）- Buffet Dinner
 

 

Recommend
lcy

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点X_i的顶标为A[i]，顶点Y_i的顶标为B[i]，顶点X_i与Y_j之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点X_i关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

• 两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
• 两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
• X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
• X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|X_i在交错树中，Y_i不在交错树中}。

　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n⁴)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n²)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n³) 的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。

#include<stdio.h>

#include<string.h>

using namespace std;

const int maxn=400;

const int INF=(1<<30)-1;

int G[maxn][maxn];

int lx[maxn],ly[maxn];

int match[maxn];

bool visx[maxn],visy[maxn];

int slack[maxn];

int n;

bool dfs(int cur)

{

    visx[cur]=true;

    for (int y=1;y<=n;y++)

    {

        if (visy[y]) continue;

        int t=lx[cur]+ly[y]-G[cur][y];

        if (t==0)

        {

            visy[y]=true;

            if (match[y]==-1 || dfs(match[y]))

            {

                match[y]=cur;

                return true;

            }

        }

        else if (slack[y]>t) slack[y]=t;

    }

    return false;

}

int KM()

{

    memset(match,-1,sizeof(match));

    memset(ly,0,sizeof(ly));

    for (int i=1;i<=n;i++)

    {

        lx[i]=-INF;

        for (int j=1;j<=n;j++)

        if (G[i][j]>lx[i]) lx[i]=G[i][j];

    }

    for (int x=1;x<=n;x++)

    {

        for (int i=1;i<=n;i++) slack[i]=INF;

        while (1)

        {

            memset(visx,0,sizeof(visx));

            memset(visy,0,sizeof(visy));

            if (dfs(x)) break;

            int d=INF;

            for (int i=1;i<=n;i++)

            if (!visy[i] && d>slack[i]) d=slack[i];

            for (int i=1;i<=n;i++)

            if (visx[i]) lx[i]-=d;

            for (int i=1;i<=n;i++)

            if (visy[i]) ly[i]+=d;

            else slack[i]-=d;

        }

    }

    int result=0;

    for (int i=1;i<=n;i++)

    if (match[i]!=-1) result+=G[match[i]][i];

    return result;

}

int main()

{

    while (scanf("%d",&n)!=EOF)

    {

        int cost;

        for (int i=1;i<=n;i++)

         for (int j=1;j<=n;j++)

         {

             scanf("%d",&cost);

             G[i][j]=cost;

         }

        printf("%d\n",KM());

    }

    return 0;

}