证明：实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量相互正交

证明：实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量相互正交.

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设AP=λ₁P，AP=λ₂P，其中A为实对称矩阵，λ₁、λ₂为A的不同的特征值，P和Ｑ分别为对应的特征向量　

P^T(AQ) = P^T(λ₂Q) = λ₂P^TQ   (1)

(P^TA)Q = (P^TA^T)Q = (AP)^TQ = (λ₁P)^TQ = λ₁P^TQ   (2)

因为P^T(AQ)=(P^TA)Q

由(1) - (2)得：

P^T(AQ) - (P^TA)Q = (λ₁ - λ₂)P^TQ 

即 0 = (λ₁ - λ₂)P^TQ

又由于λ₁ ≠ λ₂，所以P^TQ=0

即<P, Q> = 0，从而P与Ｑ相互正交