阿克曼函数--一个计算方法

在数学上有一个著名的“阿克曼函数”，它是二元函数，其定义式为：
（１）ACK(0, N)＝1＋Ｎ
（２）ACK(M,0)＝ ACK(M-1, 1)（Ｍ>０）
（３）ACK(M, N) ＝ ACK(M-1，ACK(M, N-1)) （Ｍ>0, Ｎ>０）
试用手工求解ACK(3, 7) 的值。
因为这个函数是用递归方式定义的，如果使用递归算法编程求解并不困难。但是，要解这个具体问题，还必须经过将近 70万次 (693964次) 递归调用 !
显然，局限于递归算法，要想用手工求解这个问题是极其困难的，甚至是不可能的！
要想能用手工求解这个困难问题，唯有另想办法，另辟蹊径。
本文给出手工求解这个难题的一种高效算法。
这种高效率算法的基本思路是：先将这个二元函数 ACK(M,N) 的函数值排成一个对应的M行N列的二维数组，并将此数组每一行视为一个数列。只要能求得第M- 1行对应数列的首项值和通项公式：
ACK（M-1，0）和 ACK（M-1，N）= f（N），
然后，根据式 (2)和式 (3)，即可以得到第M行对应数列的首项值
ACK（M，0）＝ ACK(M-1, 1)
和数列中相邻项的关系公式：
ACK（M，N）＝ ACK(M-1，ACK(M, N-1))= f [ACK（M，N-1）]
据此，依次推导出Ｍ＝０，Ｍ＝１，Ｍ＝２时对应的数列通项公式后，即可以得到待求的 ACK(3,4) 的函数值了。
(注意：因为各个数列首项N=0，对应的 n=1，所以有：n= N+1。)
具体求解步骤如下：
1、式(1)就是M=0对应通项公式。这是一个首项的值为 1，公差为1的等差数列。
2、推导Ｍ＝1对应数列的通项公式。
由式(2)和式(1)可得到数列的首项(N=0)的值为：
（4）ACK(1，0)=ACK(0，1)=1+1=2
由式(3)和式(1)可得到数列中相邻两项的关系公式为：
（5）ACK（1,N）＝ ACK（1，N-1）+ 1
（6）ACK（1，N）＝ 2 + N 。
3、推导M=2对应数列的通项公式。
由式(2)和式(6)可得到数列的首项(N=0)的值为
(7)ACK(2，0)=ACK(1，1) ＝2+1= 3 ，
由式(3)和式(6)可得到数列相邻项的关係公式：
(8)ACK（2, N）＝ ACK（1,ACK（2, N-1））＝ 2 + ACK(2, N-1)
显然，这是一个公差为2 的等差数列。
综合式(7)和式(8)得到：M=2对应的数列是一个首项为3，公差为 2的等差数列。通项公式为：
(9)ACK（2，N）＝3 + 2*N 。
4、等待求值的ACK（3, 7）属于M=3对应的数列。为了求ACK（3, 7）的值，先推导M=3对应数列的首项(N=0)值和数列相邻项的关係公式。
由式(2)和式(9)，可得到数列的首项(N=0)的值为
(10)ACK(3，0)=ACK(2，1)=3 + 2*1=5
由式(3)和式(9)可得到数列相邻项的关係公式：
(11) ACK（3, N）＝ ACK（2,ACK（3, N-1））＝ 3 + 2*ACK(3, N-1) 。
根据M=3对应数列的这个两个基本特牲，有两种可供选择的求值方法。
方法一：求数列通项公式法。
式(11)表明：当M=3时对应的数列，它的相邻项之间的关系是一种典型的线性关系，其通式为：
An+1＝ K* An + B 。(K和B是常数)。
下面讨论：在这样的相邻项关系条件下的数列通项公式推导方法。
1、当K＝0时，这是一个常数列：An ＝ B ；
2、当K＝1，B=0时，这也是一个常数列：An ＝ A1 ；
3、当K≠1，B＝0时，这是一个公比为K的等比数列，An ＝Kn -1 *A1 ；
4、一般情况（当K≠0，1，B≠0时）：
A2 ＝K* A1 + B
A3 ＝K* A2 + B＝K*（K* A1 + B）+ B＝K2 *A1 + B*K + B
… …
An ＝Kn -1 *A1 + ( B*K n -2 + B*K n -3 + … + B*K 1+ B )
注意 ：括号中就是“首项为B，公比为K的等比数列的前（n －1）项之和”!
根据等比数列的前（n －1）项的求和公式，得到括号中的求和结果
Sn= B*= *Kn –1 － ，
从而得到结论：当相邻项之间的关系是An+1＝ K* An + B 时，数列的通项公式为
(12) An ＝Kn -1 *A1 + Sn＝Kn -1 *（A1＋）－ 。 ( n＝1,2,3, …)
具体到本文的问题，对照（10）式和（11）式知道：A1 ＝ ACK(3, 0) ＝ 5, K＝2，B＝3。
代入（12）式，并注意到 n＝N+1, 就可以得到M=3对应数列的通项公式 ：
(13) ACK（3，N） ＝ 2N*（5＋）－ ＝ 2N + 3 － 3。
将N＝7代入（13）式，立即得到答案：
ACK（3，7）＝ 27+ 3 － 3 ＝ 1021 。
方法二：递推法。
根据（10）式知道：A1 ＝ ACK（3，0）＝5，
再根据（11）式： ACK（3, N）＝ 3 + 2*ACK(3, N-1) 逐项进行递推求解：
ACK（3，1）＝2*5+3＝13
ACK（3，2）＝2*13+3＝29
ACK（3，3）＝2*29+3＝61
ACK（3，4）＝2*61+3＝125
ACK（3，5）＝2*125+3＝253
ACK（3，6）＝2*253+3＝509
ACK（3，7）＝2*509+3＝1021