连通图之前的几个补充讨论

说“之前”的，是因为传统图论中，讨论连通图前，需要讨论路，链，回路 等诸多名词。而从边的方式讨论，如我前面的内容。已经通过递归定义邻接边一次性获得。

我不想说我是在投机的使用一种代码化的方式来描述图论中的连通。既然可以在符合公理化集合论的基础上，采用一种简单的方式描述图论的连通定义，为什么不能采用。反驳我哦，希望给出错误点的指出。

当然我们不能遗漏了一些传统图论的定义，我说了，要在兼容公理化集合论的基础上，能与传统图论的所有理论有对应。否则就是自说一套了。

关于图论的链，标准图论的书籍基本如下：

“在顶边交错链 W=v0,e1,v1,e2...ekvk 中，

且，ei = vi-1 vi,则成W是图G的一条道路，其中允许 vi = vj, 或 ei = ej ,i!=j. 称 v0 为W的起点，vk为W的终点，K为路长， 称为 W的内点。”

这个版本论述有几个不妥的地方，先看下另一个版本，我手上非电子档的书《图论导引》

“。。更正式地，G中一条 u-v链(walk)W,即为G的一个顶点序列，满足从U出发，到V结束，且连续的顶点是相邻的。”

老外的定义确实不错。哪怕是翻译成引文的。明显后者比前者好。好在；

1、描述的内容，约束更少。没有约束边是否重复，没有约束顶点是否重复。只说了相邻约束。

但后面的定义还存在一些问题。

1、链本身是不存在方向性的。这个定义很模糊，没有明确指出来，至于第一个版本，就更别提了。还冒出了起点种点的概念。对于抽象的无向图，方向从何来？内点外点看似有些意义，但在定义中的作用域也很混乱。

2、在该书的后续符号化描述中，虽然比第一个版本强，但还是缺乏对无限图的试用性。因为对W的定义，包含了一个

W：V0，V1，V2.。。VK,而有用的部分是V0，VK，同时认定W是有序的，而已知V0，VK时，则无法将V1.。。VK-1在无限图中做扩展，否则你的K不具备确定值的意义。

这里重要说明一下，为什么我总要（纠结，吹毛求疵，反复抓小辫子，写大字报，搞批判，无论你怎么说，）对目前图论（基础图论理论成书的，更高级的我暂时没看）有限图这个约束。当然存在 claude berge 出版过《无限图理论及其应用》，但我没有机会拜读，同时根据该牛人，其他文献关于图的定义仍然是先顶点，后边，所以我只能当无视，但不带有任何对claude berge的任何不尊敬。同时这里我谈论的无限图，并不和代数拓朴有太多重叠关系，后者我没仔细学习，但多少还知道他们在研究什么。

因为，如果我们没有一定的理论，去描述，无限图和有限图之间适用性的理论，那么我们很难在大规模图计算中，进行理论可保证的高并发，分布式计算。

一个什么样的理论可以在已知集合的特性中保持，无论未知部分何如，而一个什么样的理论无法这样操作，都需要考虑无限图和有限图的差异性。

例如：假设我们的所有犯罪嫌疑人的信息，被存储在N个不同的地区的服务器上。我们需要找到某个犯罪嫌疑距离为6以内的人群（距离为1表示两个人有直接关联，2为两个人同时和另一个人有关联）。那么我们假设，从每个服务器开始查找。那么对于任意一个服务器，如果已经找到距离为6，这很简单。如果每个服务器，都至少距离小于6的。那么这些信息该怎么汇总？对于有限图的理论，只能适用在单服务器上，而需要存在有限图，和无限图关联的理论，来联合多个服务器的操作。否则，你始终需要一个集中式的服务器，作为对所有分布资源的总集中。

而通常，大规模系统，更关注的指标是健壮性，可以只获取80%的信息，但不能因为存在某一个结点坍塌，导致全网失效。

回到整体，对于链W，此处我的定义，则和con完全等同。就是连通图的定义。只不过加上，va,vb 属于V的限制。

需要注意，此处的W实际等同标准图论中的trail 迹 此和W的唯一区别就是，W中允许存在重复的边，而迹只允许存在重复的顶点。在我暂时没想到W的存在价值或别人提示前，我表示不支持标准图论的W 这是到目前为止，第一个不支持标准图论的地方。即，当存在一个连通图，且同一条边，需要反复描述的必要性，无论是证明还是现实问题。可能有人说，全顶点遍历路径的问题需要有W，重复边的概念。我们到这个问题出现时在详细讨论，其实可以通过拆分图的方式求解。

由此，对于一个va,vb的W的获取，算法则为：

1、从va ,vb任意顶点开始，设为初始点，另一点设为检测点，寻找全网连通。

2、任意新顶点加入时，判断是否等于检测点，如果不等于重复2，等于则退出。

关于 路（PATH）

算是W  的一个约束。即，W中任意顶点不重复。由此我们要重新定义，在定义path之前，需要增加个定义如下：

 这里的PATH和传统的定义不同。和CON也不同。要求至少包含两个不同的边。同时如果在E中存在一个边，和A中任意两个边有交集为空，且，和任意一个边，有交集不为空，则该边也属于A。同时最后一句，补上了，该集合中，必须全部是真正的边。而不能是不包含有效边的边集合（也即顶点）。e1,e2除外

这里对上述描述做几个说明：

1、path需要两个基本参数。包含至少两个有效边。由此，path至少包含3个顶点。两条不同的边。对于单边，不认为是path。

2、无法通过两个顶点，在算法中求路径。由此使得实际算法，如果是重顶点开始，需要针对该顶点的某条具体边进行处理。但这不影响path的逻辑和有效性。对于实际两个顶点是否存在路径，可以先判断是否存在对应边，再从两个顶点的相邻边，做遍历，尝试寻找路径。

3、关于三个交操作为空，简单的图例就是，在path中，不可能出现，三条边有同一个顶点的情况。而同时，也不可能有不相连的情况。

而回路(circuit)，放一边，先看下圈cycle ,

基于路的定义，进行如下约束

这里的描述表示，实际上已经说明了。一个圈，至少要3个不相同的边。e,e1,e2。同时还可以看到。要想说明唯一一条圈，光凭一个边，是不可能的。其实光凭两个边，也不能证明这个圈是唯一的。此后面讨论。

回到 回路(circuit) 的定义。回路是可以包含重复顶点，但不能包含重复边的。由此，我们可以通过连通和cycle来确定circuit的定义。

 文字描述： 回路是一个边集合A。任意一条e属于回路的边，根据p(e)其端点，总存在一个连通图con(p(e))属于A集合,使得该边不属于该连通图。你可以等同认为，是先去掉该边，再在图中寻找，该边两端点的连通方式。由于是对应任意一条边，都成立，所以就不存在，那种不成圈的分支。

距离 这里的距离，是抽象图的距离，不包含边的权重。权重是另一会事，如果一个边表示一个铁轨，那么铁轨多长，我们不用距离来描述，使用权重 。因此求图的最短距离，是说两个顶点之间，连通时，最小的边数。而最小权重，是两个顶点连通，任意一个path中所有顶点，或所有边的权重总和。

距离的定义离不开||运算。其实很简单。先定义min，gmin。

 

 

文字描述， gmin（A）=b，此时b是A的一个元素。 任意A的元素，根据一个谓词，或转移函数，有不小于 b的情况。之所以加上 f(x)，因为实际此处的min抽象，而元素本身的标号可能并不具备比较意义，由此实际是最值操作，并不是最小操作。甚至可以是最大操作。

那么距离的定义就比较简单，按照标准的图论d(u,v)则如下

 

就是图中，任意两个顶点的路径集合中，最小的值，另一种定义如下

 

此时并不限定，e1,e2为顶点描述。也没有限定e1不能等于e2。限定越小，对我们的代码逻辑约束越小，代码逻辑越清晰。而且并没有增加计算量。

这里对标准图论的 测地线（geodesic)进行对应定义。其实也超级简单，雷同上面的方式。

 

gd的缩写是 GeoDesic， 而gmin的意思是，get node which is min by f(x)。