将一个矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和

1.理论依据

对任意n阶方阵A，有 A=(A+T(A))/2+(A-T(A))/2，其中T(A)是A的转置，(A+T(A))/2是一个对称矩阵，(A-T(A))/2是一个反称矩阵。

2.求出对称矩阵部分的函数

/// <summary>
/// 把矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和：对称矩阵
/// </summary>
/// <param name="matrix">矩阵</param>
/// <returns></returns>
private static double[][] SymmetricPart(double[][] matrix)
{
    //合法性校验：矩阵必须为方阵
    if ( MatrixCR(matrix)[0] !=  MatrixCR(matrix)[1])
    {
        throw new Exception("matrix 不是一个方阵");
    }

    //矩阵中没有元素的情况
    if (matrix.Length == 0)
    {
        return new double[][] { };
    }

    //生成一个与matrix同型的空矩阵
    double[][] result = new double[matrix.Length][];
    for (int i = 0; i < result.Length; i++)
    {
        result[i] = new double[matrix[i].Length];
    }

    //对称矩阵为 (A+T(A))/2 其中A为原矩阵，T(A)为A的转置矩阵
    for (int i = 0; i < result.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < result.Length; j++)
        {
            result[i][j] = (matrix[i][j] + matrix[j][i]) / 2.0;
        }
    }

    return result;
}

3.求出反称矩阵部分的函数

/// <summary>
/// 把矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和：反称矩阵
/// </summary>
/// <param name="matrix">矩阵</param>
/// <returns></returns>
private static double[][] SkewSymmetricPart(double[][] matrix)
{
    //合法性校验：矩阵必须为方阵
    if (MatrixCR(matrix)[0] != MatrixCR(matrix)[1])
    {
        throw new Exception("matrix 不是一个方阵");
    }

    //矩阵中没有元素的情况
    if (matrix.Length == 0)
    {
        return new double[][] { };
    }

    //生成一个与matrix同型的空矩阵
    double[][] result = new double[matrix.Length][];
    for (int i = 0; i < result.Length; i++)
    {
        result[i] = new double[matrix[i].Length];
    }

    //反称矩阵为 (A-T(A))/2 其中A为原矩阵，T(A)为A的转置矩阵
    for (int i = 0; i < result.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < result.Length; j++)
        {
            result[i][j] = (matrix[i][j] - matrix[j][i]) / 2.0;
        }
    }

    return result;
}

4.其他函数

/// <summary>
/// 判断一个二维数组是否为矩阵
/// </summary>
/// <param name="matrix">二维数组</param>
/// <returns>true:是矩阵 false:不是矩阵</returns>
private static bool isMatrix(double[][] matrix)
{
    //空矩阵是矩阵
    if (matrix.Length < 1) return true;

    //不同行列数如果不相等，则不是矩阵
    int count = matrix[0].Length;
    for (int i = 1; i < matrix.Length; i++)
    {
        if (matrix[i].Length != count)
        {
            return false;
        }
    }

    //各行列数相等，则是矩阵
    return true;
}

/// <summary>
/// 计算一个矩阵的行数和列数
/// </summary>
/// <param name="matrix">矩阵</param>
/// <returns>数组：行数、列数</returns>
private static int[] MatrixCR(double[][] matrix)
{
    //接收到的参数不是矩阵则报异常
    if (!isMatrix(matrix))
    {
        throw new Exception("接收到的参数不是矩阵");
    }

    //空矩阵行数列数都为0
    if (!isMatrix(matrix) || matrix.Length == 0)
    {
        return new int[2] { 0, 0 };
    }

    return new int[2] { matrix.Length, matrix[0].Length };
}

/// <summary>
/// 打印矩阵
/// </summary>
/// <param name="matrix">待打印矩阵</param>
private static void PrintMatrix(double[][] matrix)
{
    for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < matrix[i].Length; j++)
        {
            Console.Write(matrix[i][j] + "\t");
            //注意不能写为：Console.Write(matrix[i][j] + '\t');
        }
        Console.WriteLine();
    }
}

5.Main函数代码及程序运行示例

static void Main(string[] args)
{
    double[][] matrix = new double[][] 
    {
        new double[] { 1, 2, 3 },
        new double[] { 4, 5, 6 },
        new double[] { 7, 8, 9 }
    };

    Console.WriteLine("原矩阵");
    PrintMatrix(matrix);
            
    Console.WriteLine("对称矩阵");
    PrintMatrix(SymmetricPart(matrix));

    Console.WriteLine("反称矩阵");
    PrintMatrix(SkewSymmetricPart(matrix));
            
    Console.ReadLine();
}