【字符串匹配】KMP算法之道
修订于2012-06-18，心急的读者可以着重看“有趣的字符串匹配提示”，这个例子看懂了，KMP也就差不多了。
闲话
上午算法考试的时候，感觉OK，前一两星期幸好把图算法都吃透了一遍，复习的时候节省了时间:)。前一半考题不理解背书的都可以，有几题没记过，不靠谱地照着理解写下来。最后的吹水题让我想起了之前的比赛，有一题是曹老师给的实验题，刚好比赛上出现了，而且相似度极高。要是高考，曹老师可就红了:)。这也让我捡了便宜。
我们校区2012的招生计划出来了，结果我们校区悲催到只招30个法语本科生，也就是说2012的本科孩子只有30人。不知道法语的怎么看，但对这个校区的未来，我是看不到什么希望。“坑爹啊...”
有趣的字符串匹配“提示”
对于T=abaabab，P=abab，从T的第一个字符开始匹配：
| a | b | a | a | b | a | b | |
| a | b | a | b | ||||
| 第一次匹配 | 1 | 2 | 3 | 0 |
可以看到，第四个字符已经匹配失败了。此时如果采用最朴素的算法，也就是重新从第二字符开始匹配（不画表了）。
KMP是这样做的：既然上面第四个字符已经匹配失败了，那么可以试着从已经匹配成功的前三个字符（即上面的“aba”）找到既是“aba”的后缀又是“aba”的前缀的字串，要求是此字串长度应该是所有满足条件中最大的，暂且记为π(“aba”)。很显然，π(“aba”)=1，因为
a b a
a b a
因此猜测从第三个字符开始匹配可能会成功（其实应该是从第四个字符开始匹配，因为π(“aba”)=1已经暗示第三个字符“a”匹配成功）（猜测，只是猜测而已）
| a | b | a | a | b | a | b | |
| 第一次匹配 | a | b | a | b | |||
| 第二次匹配 | a | b |
a | b |
好吧，结果是不成功，因为出现了T中的第四个字符匹配失败的情况。不过可以发现，KMP算法没有像朴素算法那样，从T的第二个字符开始匹配，转而从T的第三个字符开始匹配，那为什么不从第二个字符开始匹配呢，因为从T的第三个字符开始匹配才有可能是成功的。如果你认为（或者说你有足够的证据证明）从第二字符开始匹配会成功，那么上面找“既前缀又后缀”的结果：
a b a
a b a
即π(“aba”)=2应该是成立的，很明显不是。
好吧，这里不成功, 前面成功匹配的字符没有, 因此 π(null)=0.这逼着从T的第四个字符开始匹配，也是不成功：
| a | b | a | a | b | a | b | |
| 第一次匹配 | a | b | |||||
| 第二次匹配 | a |
b | a | b |
于是匹配成功。你将看到KMP也是这么做的，关键是如何计算上面的说的“既前缀又后缀”的结果——其实就是帮助匹配的辅助表。
KMP算法之道
问题定义：
字符串匹配问题：T=“www.daoluan.net/blog”，P=“daoluan”，问P是否在T中出现？答：是。
之前遇到的字符串匹配算法效率不是很看好，有限自动机之于最为朴素的穷举法有一定的提高，但是初始化过程仍不乐观，总体效率不高。奇葩的是，KMP算法初始化和匹配过程分别可以达到O(n)和O(m)，实在是神奇。本篇文章目的就是吃透KMP。纵观KMP，它无非就基于三个核心的结论，吃透这个三个结论，将KMP踩在脚下。
KMP和有限自动机字符串匹配一样，借助了一个辅助一维表，但KMP的辅助表计算时间在O(m)内。这个辅助表是关于匹配内容P的前缀表。
在提及这些结论之前，先允许我啰嗦一下：
对于字串P，(k)P表示长度k的P的前缀；P(k)表示长度为k的P的后缀。比如P=abcdef，(3)P=abc，P(3)=def。
π(q)表示P的前缀(q)P的最长后缀P(k)的长度（也就是k要取最大值）。比如：P=ababababca，π(8)即(8)P=abababab的最长后缀P(k)的长度，k最大为6，因为
abababab|ca
ababab|abca∴π(8)=6。
比如：匹配内容P=“daodaodaodaoluan”，那么关于P的前缀表 π(i) 即为：
P d a o d a o d a o d a o l u a n
π 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0
π(q)有了定义，π*(q)可以有。通常加“*”表示所有，在这里也是。π*(q)是一个集合，它的所有成员可以迭代求出：
π*(q)={k|(k)P是(q)P的后缀且k<q}
={π1(q)，π2(q)，π3(q)，π4(q)....}，其中πn(q)=π[πn-1(q)]。
比如：同样对P=ababababca，求π*(8)， 有下图结果（来自算法导论）：
所以π*(8)={0,2,4,6}。对于其他的 π*(q)值也是这样计算。这里的涉及了很多的定义，务必看懂，下面的三个结论才看得下去。如果太急，直接忽视这里，看上面的“有趣的字符串匹配”。
假设已经得到了关于P的辅助表，
kmp()
m = strlen(P)
n = strlen(T)
π[m]
kmptab(π) //预处理辅助表
q = -1
for i=[0,n)
while q>0 && P[q+1]!=T[i]
q = π[q]
if P[q+1]==T[i]
q = q+1
if q = m
// 找到啦
q = π[q] //继续剩余T的寻找
其中π[m]为辅助表。如果P[q+1]==T[i]能连续成立m次，那么可以找到T中的P。所以如果有辅助表的存在，匹配过程还是很容易理解的。
KMP 有三个结论，他们主要是用来计算辅助表的：
- π*(q)={k|(k)P是(q)P的后缀且k<q}。明显.
- 如果π(q)>0，那么π(q)-1∈π*(q-1)。
∵π(q)=t，那么t<q，所以π(q)-1=t-1<q-1；
∵π(q)=t，∴(t)P是(q)P的后缀，（去掉(t)P和(q)P的最后一个字符）那么(t-1)P同样也是(q-1)P的后缀；
根据结论一，得到 t-1∈π*(q-1)，π(q)-1∈π*(q-1)总能成立。
- 图示结论
上面的图中，如果匹配不成功, π 值会越来越小, 直到为0, 此时就需要重新从第一个字符开始匹配了.
上面的基础就是为计算辅助表的。有了上面的结论：
kmptab(π)
m = strlen(P)
q = 0
π[0] = 0
for i=[1,m)
while q>0 && P[q]!=P[i] // 与当前字符不匹配的时候, 才需要缩小 π
q = π[q] //
if P[q]=P[i]
q = q + 1 // 与上图中的做法一致
π[i] = q
实在是太短了。
KMP的复杂度
KMP的复杂度一时我也说不清楚，借助了算法导论和Matrix67的手笔才略有领悟。KMP用到了平摊分析。就上面的kmptab(π)函数，从q的值来说，q = π[q]操作只会使的q越来越小，但总能q>0，因为q = π[q]是根据辅助表来得到的，而辅助表中最小为0。P[q]=P[i]条件成立，能使得q+1，也就是说q只有在这里才增加。最坏的情况，q被增加m-1次。所以while循环内的操作最多被执行m-1次的。平摊一下就是O(1)了。所以加上for循环，kmptab的复杂度为O(m)。
kmp主程序也是用这种平摊分析方法。
补充：KMP匹配过程中利用辅助表跳过了无效的检查，直接将检查过程跳转到将来可能成功匹配的字符上。
本文完 2012-06-14
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