uvalive3882And then there was one

题意：n个人报数，编号从1到n，第一次报m的人出列，以后每数k个数删除一次，问最后出列的人在最开始的时候编号是多少

分析：约瑟环问题的变形，链表的方法不行，会tle。

其实原题可以认为是第一次删除编号m，然后处理一个规模为n-1的子问题

考虑这样一个问题：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

　　k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

　　k --> 0

　　k+1 --> 1

　　k+2 --> 2

　　...

　　...

　　k-3 --> n-3

　　k-2 --> n-2

　　序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1

　　序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1

　　序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,1,2,3，…，k-2

　　序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2

　　变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，

假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

　　∵ k=m%n;

　　∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

　　∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

　　得到 x‘=(x+m)%n

　　如何知道（n-1）个人报数的问题的解? 对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

　　令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

　　递推公式：

　　f[1]=0;

　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

ps：这个引入的问题中的m其实就是原题中的k~

代码：

View Code

 1 #include <stdio.h>
 2 const int MAXN = 10000 + 2;
 3 int f[MAXN];
 4 int main(){
 5     int n, k, m;
 6     while(scanf("%d%d%d", &n, &k, &m)!=EOF && n){
 7         f[1] = 0;
 8         for(int i=2; i<n; i++) f[i] = (f[i-1]+k)%i;
 9         printf("%d\n", (f[n-1]+m)%n+1);
10     }
11     return 0;
12 }

 

大部分内容摘自http://www.cnblogs.com/huangfeihome/archive/2012/11/12/2766327.html