数理逻辑之 自然演算规则（四）

昨天学习了蕴含引入规则和定理、等价的概念。后面还有一个练习题。

先来公布一下练习题的参考答案：例14  证明相继式 p → q |- p ∧ r →q ∧ r是有效的

 

继续看自然演算规则：(Ⅵ) 析取规则

看到析取规则一定就想起了曾经的合取规则吧，能不能想起合取规则有几个，分别是啥样的？

不过析取规则与合取规则相比，有本质上的区别。析取规则由析取引入规则和析取消去规则构成：

a。析取引入规则

 b.析取消去规则

 看懂了没：在合取规则的情形中，ΦΛψ的证明只是Φ的证明与ψ的证明的连结再加上引用Λi一行。而在析取规则的情形中，析取的引入比析取的消去更容易掌握。

析取引入规则是说只有一个满足，析取就能满足（和合取一样有先后顺序，所以有两个规则）。

析取消去规则是说析取的任何一个公式都能导出相同的结论的话，可得析取公式可以导出此结论（可能我总结的不好，你如果有更好的可以补充）

通过一个例子来理解一下：例15 证明相继式 p ∨ q  |-  q ∨ p 是有效的

 通过假设每个子式，然后得到相同的结果，证明了相继式的有效性。

有意思的是同时使用了析取引入和消去规则。

下一个例子：例16 证明相继式q→r |- p ∨ q → p ∨r 是有效的

 根据相继式右边的形式，我们使用蕴含引入规则得到了证明。其中又分别使用了蕴含引入和消去规则。

看一个稍微复杂点的例子：例17 证明相继式(p∨q) ∨r |- p ∨( q∨r) 是有效的（可以先自己尝试一下）

根据相继式的形式，可知最终使用的是析取引入规则：

 由于公司出现了析取嵌套，证明也使用了嵌套。

怎么样？掌握了吗？

 

下面学第七种规则：(Ⅶ) Copy规则——复制在引用点之前出现且不在任何已闭合的盒子中的公式。

这个比较简单，看例子就行：例18 证明相继式 ├ p →(q →p)（还记得这种类型的相继式叫啥吗？）

这个相继式有些怪，证明过程也有些怪，不过它是正确的。我现在想问一个问题是：你知道为什么需要使用copy规则而没有直接得出第四行的结论吗？