Karhunen-Loeve Transform (KLT)

 

Karhunen-Loeve Transform (KLT)

source：http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/klt/node3.html

是与协方差矩阵 与第k 个特征值 一致的特征向量，有：

 

或以矩阵的形式：

 

 

协方差矩阵是对称矩阵，有 （若 是复数则共轭对称），他的特征向量 是正交的，有：

 

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我们可以构造 正交（酉）矩阵 ：

 

 

满足：

 

 

以上N 个特征方程可能联合表达为：

 

 

 

矩阵形式为：

 

 

是一个对角矩阵 。两边左乘 ，协方差矩阵 则对角化为：

 

 

向量 ，定义 的正交（若 为复数则为酉）K-L 变换为：

 

 

转换向量的第i 行 是 到 的映射：

 

 

在 两边同乘 ，我们得到逆变换：

 

 

我们看到，通过转换，通过N 个特征向量 ），向量 扩展为N 维空间的基向量。