俄罗斯农民乘法

规则：什么是俄罗斯农民 乘法？我要怎么使用它？
原理：俄罗斯农民 乘法的工作原理是什么？
联系：俄罗斯农民 乘法是如何与二进制相关联的呢？

什么是俄罗斯农民 乘法？我要怎么使用它？

我们绝大多数人学的都是这样做大数字乘法的：

          86
      x  57
    ------
        602
   + 4300
    ------
      4902

如果你懂得乘法算式，那么这种“长式相乘”的方法是快速和相对简单的。不过，还有许多其它的计算方法。其中之一通常被称之为俄罗斯农民 算法。使用它时不需要你懂得乘法算式，你只需要将数字加倍，减半再进行合计。具体规则如下：

  * 把每一个数字分别写在列头。
  * 将头一列的数字加倍，将第二列的数字减半。
     如果在第二列的数字是奇数，将它除以二并把余数去掉。
  * 如果第二列的数字是偶数，将其所在行删除。
  * 继续加倍、减半和删除直到第二列的数字为1。
  * 将第一列中剩余的数字相加。于是就得出了根据原始数字计算出的结果。

让我们以计算57乘以86为例。
    把每一个数字分别写在列头。
        57     86
    将头一 列的数字加倍，将第二 列的数字减半。
        57     86
      114     43
    如果第二 列的数字是偶数，将其所在行删除。
        57     86
      114     43
    继续加倍、减半和删除直到第二 列的数字为1。
        57     86
      114     43
      228     21
      456     10
      912      5
      1824     2
      3648     1
    将第一 列中剩余的数字相加。于是就得出了根据原始数字计算出的结果。
        57     86
      114     43
      228     21
      456     10
      912      5
      1824     2
  +  3648     1
      4902

真实的俄罗斯农民 们 可能会用好几碗的鹅卵石来记录他们加倍的数字，用来代替写在列里面的数字。（当然，他们或许不会对我们的例子里那么大的数字感兴趣，要知道四千多个鹅卵石 可是很难操作的哟！）俄罗斯的农民们并不是唯一使用这种算法的人，在数千年之前古埃及人就已经发明了类似的方法，而同时在今天的计算机中仍然在使用与之相 关的程序。

俄罗斯农民 乘法的工作原理是什么？

让我们以计算9×8为例：

          9      8
        18      4
        36      2
        72      1

72是唯一一个留在左列里的数字，所以我们的答案就是72。请注意我们在其中一边乘以2，在另一边除以2，2 × 1/2 = 1，所以对最终结果并没有影响:

9 * 8                         

= 18 * 4                   

= 36 * 2        

= 72 * 1

我们刚才对数字进行了不同的组合，而对结果并没有影响。如果我们将8乘以9，我们应该得到同样的答案。那我们能用同样的方法来解释吗？

         8     9
       16     4
       32     2
    + 64     1
       72

当我们将9除以2，我们将余数去除因为9是一个奇数。由于我们“丢失”了一个，所以接下去的产生的每一行都会变得更小。让我们从第一行和第二行中寻找不同。

      8*9 - 16*4
      = 72 - 64
      = 8

我们可以重写个减法来计算总和：

8 * 9                             

= 16 * 4 + 8                 

因为我们的结果少了8,所以我们就必须在最后把8给加回去。我们可以把这种追加认为是恢复了1组8，就是在前面我们丢掉的余数1。在不同的问题里，我们有可能会恢复不同组的数字。

俄罗斯农民 乘法是如何与二进制相关联的呢？

二进制是以2代替10来作为基数的进制。这就意味着在位数上我们要用2的次方来代替10的次方：代替个位、十位和百位，二进制有一位、二位和四位等等。例如，14在二进制里表示为1110：

       1110 (base 2)
       = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0
       = 8 + 4 + 2 + 0
       = 14

俄罗斯农民 乘法能快速有效的将数字转换成二进制模式，将它们相乘，然后再转换回我们日常所使用的数字系统。这种关联两种进制的能力并不惊奇，因为二进制使用2作为基数，同时俄罗斯农民乘法使用2来相乘和相除。为了使这种关联更为清晰，让我们来研究一下12*13。

减半

你能够通过对数字进行重复的除以2并且留下余数来将其转换成二进制。让我们试一下12：

        12/2 = 6  余数 0
         6/2 = 3  余数 0
         3/2 = 1  余数 1
         1/2 = 0  余数 1

从下往上读取余数，我们得到了1100,所以12所对应的二进制数字为1100。

这种转换方法的工作原理是什么呢？让我们再一次试着用同样的方法将12减半。这一次，我们将把所有的数字都基于二进制（当然，数字2在二进制里头是10）。

            1100/10 = 110  余数 0
             110/10 =   11  余数 0
              11/10 =     1  余数 1
                1/10 =     0  余数 1

将数字除以2然后再取其余数，最终我们所得到的就是基于二进制的数字。

关于数字12，到目前为止我们所得出的：

       12 = 1100 (base 2)
       = 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2 + 0*1
       = 2^3 + 2^2
       = 8 + 4

通过反复的对12减半，我们就可以将其分解成2的次方。

因式分解

我们现在来试着将12乘以13。一种方法是使用长式相乘：

          13
       * 12
        ----
          26
      + 130
      -----
         156

注意我们通过将 2*13 和 10*13 相加来得出我们的最终结果。它的工作原理是因式分解：

       12 * 13
       = (2 + 10) * 13
       = 2*13 + 10*13

当然，我们能将12分解成任何我们想要的形式，并且仍然能得到正确的答案。现在让我们用前面所做的工作来将这个题目分解成2的次方：

       12 * 13
       = (4 + 8) * 13
       = (2^2 + 2^3) * 13
       = 2^2 * 13 + 2^3 * 13

如果我们能将 13 乘以 2^2 和 2^3，那我们就完成了。

加倍

重复的将一个数字乘以2的次方。让我们试试将13加倍：

       数字        累计相乘过程          2的次方
        13              13                    2^0
        26            13*2                  2^1
        52           13*2*2                2^2
       104         13*2*2*2              2^3

我们的图表告诉我们 2^2 * 13 + 2^3 * 13 = 52 + 104 = 156，所以 12 * 13 = 156，我们完成计算了。

把所有的一切放在一起

我们刚才通过重复的减半和相乘将12转成二进制模式，然后将其与13相乘。俄罗斯农民 算法做得是同样的事情，但是它节省了很多的步骤，过程也更快。让我们结合我们加倍和减半的步骤来比较这两种方法的不同。

数字加倍       累计相乘过程     2的次方       数字减半         除以2         余数
    13               13                2^0           12            12/2 = 6         0
    26              13*2              2^1             6             6/2 = 3         0
    52           13*2*2             2^2             3             3/2 = 1         1
  104         13*2*2*2           2^3            1             1/2 = 0         1

加粗的列使用的是俄罗斯农民 乘法。注意当余数列为0时，其所对应的俄罗斯乘法行要删去。