USACO - 2.1.2 - Ordered Fractions

 

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摘要： 模拟 ，互质

一. 题目翻译

1. 描述：

          输入一个自然数N,对于一个最简分数a/b（分子和分母互质的分数）,满足1<=b<=N,0<=a/b<=1,请找出所有满足条件的分数。

这有一个例子，当N=5时，所有解为：0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

给定一个自然数N，1<=n<=160，请编程按分数值递增的顺序输出所有解。

注：①0和任意自然数的最大公约数就是那个自然数②互质指最大公约数等于1的两个自然数。

2. 格式：

          INPUT FORMAT:

          (file frac1.in)

          单独的一行　一个自然数N(1..160)

          OUTPUT FORMAT:

          (file frac1.out)

          每个分数单独占一行，按照大小次序排列

3. SAMPLE：

          SAMPLE INPUT:

5

          SAMPLE OUTPUT:

0/1

1/5

1/4

1/3

2/5

1/2

3/5

2/3

3/4

4/5

1/1

          

二.  题解

1. 题意理解（将问题分析清楚，大致用什么思路）：

          这道题目我用了非常笨的办法，枚举分子（>1）和分母（>1），分为以下几种情况讨论：

          a. 分母为质数，则分子分母必然互质，加入结果集

          b. 分母为合数，若分子为质数，则判断分母是否为分子的倍数，如果不是分子的倍数，则加入结果集

          c. 分母为合数，若分子也为合数，则判断二者是否存在公约数，如果没有公约数则加入结果集

          最后对结果集排序，输出结果集结果。

 

2.  具体实现（具体实现过程中出现的问题）：

          按照上述算法描述编写程序。

3. 需要注意的细节：

          1. 排序的实现，我们使用了java中自带的Arrays.sort()方法， 这个方法的时间复杂度为nlogn，同时注意Comparable接口的实现。 

          2. 计算素数的上限我们使用了Math.sqrt(p)，这个需要积累，可以大大降低时间复杂度。

4. 启示：

其实这道题完全可以更简单，当做水题来做。维护一个Hash表，将枚举产生分数入Hash表就可以了，判重的问题由Hash表来做就可以了，避免自己判断的三种情况讨论。

三.  代码

/* ID:fightin1 LANG:JAVA TASK:frac1 */ import java.io.BufferedReader; import java.io.BufferedWriter; import java.io.FileNotFoundException; import java.io.FileReader; import java.io.FileWriter; import java.io.PrintWriter; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class frac1 { public static void main(String[] args) { try { // Scanner in = new Scanner(System.in); // PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out); Scanner in = new Scanner(new BufferedReader(new FileReader( "frac1.in"))); PrintWriter pw = new PrintWriter(new BufferedWriter(new FileWriter( "frac1.out"))); int num = in.nextInt(); ArrayList<Node> al = new ArrayList<Node>(); al.add(new Node(0,1)); al.add(new Node(1,1)); for(int i=2;i<=num;i++){ al.add(new Node(1,i)); for (int j=2;j<i;j++){ if (isP(i)){ al.add(new Node(j,i)); } else { if (isP(j)){ if (i%j!=0){ al.add(new Node(j,i)); } } else { boolean add = true; for (int k=2;k<=j/2;k++){ if (j%k==0&&i%k ==0){ add = false; break; } } if (add){ al.add(new Node(j,i)); } } } } } Object[] results = al.toArray(); Arrays.sort(results); for (int i=0;i<results.length;i++){ pw.println(((Node)results[i]).fenzi+"/"+((Node)results[i]).fenmu); } pw.close(); } catch (Exception e) { // TODO Auto-generated catch block e.printStackTrace(); } } public static boolean isP(int a){ boolean p = true; for (int i=2;i<=Math.sqrt(a);i++){ if (a%i == 0){ p = false; break; } } return p; } } class Node implements Comparable<Node>{ int fenzi; int fenmu; float value; public Node(int fenzi ,int fenmu) { this.fenzi = fenzi; this.fenmu = fenmu; value = (float)fenzi/(float)fenmu; } @Override public int compareTo(Node o) { if (this.value > o.value){ return 1; } else if (this.value == o.value){ return 0; } else { return -1; } } }