关于<<算法导论>>上的主定理（Master Theorem）的证明

之前学习《算法导论》关于主定理一章，它的证明是很概略的，网上关于主定理证明的材料不少，但是很多都只局限于在b的幂上的证明，将证明扩展到全体整数的论述相当少。本人查找了不少资料后在这里找到了一篇相对完整的证明(点击这里)，但细细读下来却发现它还是有一些瑕疵，因此打算自己补完整个证明，希望能对以后学习算法导论的同学有所帮助。由于本人数学水平不行，如果发现证明有错误或有地方需要补充，欢迎联系我[email protected]

 

1，证明的总体思路

首先，求出递归式的非递归形式，即用多个多项式的和将递归式表示出来

接着，分析这个多项式的和，然后证明之。(证明内部又要分开两个阶段进行)

总之，求出递归式的和式，是证明的开始的基础，所有后续的证明，都要基于这个和式展开的。

 

2，递归式的和

首先画出递归树

这里介绍一下几个变量是怎么来的

1）树的高度h

这里需要重点理解的是，从这个和式我们可以直观地感受到，如果两个部分中谁的阶数较高，则谁决定和式的上界。因此接着的具体证明就是围绕着这两部分的大小关系展开的。我们有以下几种情况：

(留意f(n)是划分当前问题的代价，也是非叶子节点的代价。 是所有叶子节点的代价，即基本情况的代价的和)

1）如果第一部分比第二部分的阶数要高，这意味着递归树的总代价由叶子的代价决定

2）如果两部分相等，这意味着递归树的总代价分布均匀，由叶子节点和其它节点共同决定。

3）如果第二部分阶数比第一部分要高，这意味着递归树的总代价由内层叶子决定，也即是说，划分问题的代价决定递归树的总代价

理解三种情形的现实意义很重要，它能帮助我们清晰体会到递归式的本质

3，证明的第1阶段

第一阶段的证明并不是在全体自然数上进行的，而是将n定义在b的幂上面，即 ,以下是证明过程

一阶段情况1

一阶段情况2

一阶段情况3

综合上述，第一阶段证明完毕

4，证明的第2阶段

第二阶段是在第一阶段的基础上，将主定理的定义域由 扩展到从全体自然数上，但是有两点必须注意：

二阶段情况1

二阶段情况2

二阶段情况3

5，扩展

我们可以看到，其实主定理是不能覆盖所有情况的，主定理的本质是递归式，递归式的求解有很长历史，算法导论的本章注记中谈到了Akra-Bazzi方法(个人认为是一种关于递归式的普遍性解法)，有兴趣可以参考一下附录参考资料228，这种方法能够解决任何递归问题。

Tom Leighton. Notes on better master theorems for divide-and-conquer recurrences. Class notes. Available at http://citeseer.ist.psu.edu/252350.html, October 1996.

由于网页编辑器不支持公式，只能贴图片，完整高清版已经上传新浪资料，有需要可以自行搜索下载，希望这个证明不会误导各位朋友。

最近发现新浪资料已经暂时关闭了，悲剧啊，上传百度文档的话又不能识别公式，有推荐的地方吗？