二叉树中两个节点的最近公共祖先

求二叉树中任意两个节点的最近公共祖先也称为LCA问题（Lowest Common Ancestor）。

 

 

二叉查找树

 

如果该二叉树是二叉查找树，那么求解LCA十分简单。

基本思想为：从树根开始，该节点的值为t，如果t大于t1和t2，说明t1和t2都位于t的左侧，所以它们的共同祖先必定在t的左子树中，从t.left开始搜索；如果t小于t1和t2，说明t1和t2都位于t的右侧，那么从t.right开始搜索；如果t1<t< t2，说明t1和t2位于t的两侧，那么该节点t为公共祖先。

如果t1是t2的祖先，那么应该返回t1的父节点；同理，如果t2是t1的祖先，应该返回t2的父节点。

1. public int query(Node t1, Node t2, Node t) {  
2.     int left = t1.value;  
3.     int right = t2.value;  
4.     Node parent = null;  
5.           
6.     if (left > right) {  
7.         int temp = left;  
8.         left = right;  
9.         right = temp;  
10.     }  
11.           
12.     while (true) {  
13.         if (t.value < left) {  
14.             parent = t;  
15.             t = t.right;  
16.         } else if (t.value > right) {  
17.             parent = t;  
18.             t = t.left;  
19.         } else if (t.value == left || t.value == right) {  
20.             return parent.value;  
21.         } else {  
22.             return t.value;  
23.         }  
24.     }  
25. }  

 

    其中，parent用于处理t1是t2的祖先（或t2是t1的祖先）的情况。

 

 

一般的二叉树

 

如果二叉树不是二叉查找树该怎么办呢？

 

 

1. 离线算法(Tarjan)

利用并查集优越的时空复杂度，可以实现O(n+q)的算法，q是查询次数。

Tarjan算法基于深度优先搜索。对于新搜索到的一个结点u，先创建由u构成的集合，再对u的每颗子树进行搜索，每搜索完一棵子树，这时候子树中所有的结点的最近公共祖先就是u了。

1. void LCA(int parent)       //从根节点开始  
2. {  
3.     p[parent] = parent;  
4.     ancestor[findSet(parent)] = parent;  
5.     for(int i = index[parent]; i != -1; i = e[i].next)  
6.     {  
7.         LCA(e[i].to);  
8.         Union(parent,e[i].to);  
9.         ancestor[findSet(parent)] = parent;  
10.     }  
11.     vis[parent] = true;  
12.     if(parent == a && vis[b])   //要先将所有查询记录下来，这里只有一个查询：a与b的LCA  
13.         printf("%d\n",ancestor[findSet(b)]);  
14.     else if(parent == b && vis[a])  
15.         printf("%d\n",ancestor[findSet(a)]);  
16. }  

 

 

2. 在线算法(RMQ)

一个O(nlog2n)的预处理，O(1)的查询。

以下面一棵树为例：

           (1)
         /     \
       (2)     (7)
      /   \       \
    (3)  (4)     (8)
          /   \
         (5)  (6)

step1：

    按深度遍历树，记录访问顺序和相应的深度(2*n-1)，及每个节点第一次出现的位置。

    结点的访问顺序为:1 2 3 2 4 5 4 6 4 2 1 7 8 7
    相应的深度为：    0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 0 1 2 1 0
    结点1-8第一次出现的次序为：1 2 3 5 6 8 12 13

step2：

    查询3和6的公共祖先，考虑3和6第一次出现的位置为3和8，即寻找序列2 1 2 3 2 3中的最小值，最小值为1，对应的点位2，则3与6的最近公共祖先为2。

step3：

    则对于给出的任意两个结点，找出它们第一次出现的位置i,j(i<j)，在深度序列中查询最小值的下标k，depth[k]即为所求。显然，查询多次深度序列中的最小值的下标，自然而然就想到了RMQ。

1. public class LCA {  
2.       
3.     private final int MAX = 10;  
4.     private int[] dfs = new int[2*MAX];  
5.     private int[] depth = new int[2*MAX];  
6.     private int[][] f;  
7.     private int[] call = new int[MAX];  
8.     private int len = 0;  
9.       
10.     public void track(Node t, int d) {  
11.         if (t == null)  
12.             return;  
13.         dfs[len] = t.value;  
14.         depth[len] = d;  
15.         call[t.value-1] = len;  
16.         len++;  
17.           
18.         track2(t.left, d+1);  
19.         if (t.left != null) {  
20.             dfs[len] = t.value;  
21.             depth[len] = d;  
22.             len++;  
23.         }  
24.           
25.         track2(t.right, d+1);  
26.         if (t.right != null) {  
27.             dfs[len] = t.value;  
28.             depth[len] = d;  
29.             len++;  
30.         }  
31.     }  
32.       
33.     public void rmq() {  
34.         int count = 1;  
35.         while ((1 << count) <= len)  
36.             count++;  
37.         f = new int[len][count];  
38.         count--;  
39.           
40.         for (int i = 0; i < len; i++) {  
41.             f[i][0] = i;  
42.         }  
43.           
44.         for (int j = 1; (1 << j) <= len; j++) {  
45.             for (int i = 0; i+(1<<j)-1 < len; i++) {  
46.                 f[i][j] = depth[f[i][j-1]] < depth[f[i+(1<<j-1)][j-1]] ?   
47.                         f[i][j-1] : f[i+(1<<j-1)][j-1];  
48.             }  
49.         }  
50.     }  
51.       
52.     public int query(Node t1, Node t2) {  
53.         int start = call[t1.value-1];  
54.         int end = call[t2.value-1];  
55.           
56.         if(start > end) {  
57.             int temp = start;  
58.             start = end;  
59.             end = temp;  
60.         }  
61.           
62.         int count = 1;  
63.         while ((1 << count) <= end - start + 1)   
64.             count++;  
65.         count--;  
66.         int result = depth[f[start][count]] < depth[f[end-(1<<count)+1][count]] ?  
67.                 f[start][count] : f[end-(1<<count)+1][count];  
68.           
69.         if (dfs[result] == t1.value || dfs[result] == t2.value) {  
70.             int temp = depth[result];  
71.             while (depth[result] >= temp)  
72.                 result--;  
73.         }  
74.         return dfs[result];   
75.     }  
76.       
77.     public static void main(String[] args) {  
78.         Node n3 = new Node(3);  
79.         Node n5 = new Node(5);  
80.         Node n6 = new Node(6);  
81.         Node n4 = new Node(4, n5, n6);  
82.         Node n2 = new Node(2, n3, n4);  
83.         Node n8 = new Node(8);  
84.         Node n7 = new Node(7, null, n8);  
85.         Node n1 = new Node(1, n2, n7);  
86.           
87.         LCA l = new LCA();  
88.         l.track(n1, 0);  
89.         l.rmq();  
90.   
91.         System.out.println(l.query(n5, n4));      
92.     }  
93. }  
94.   
95. class Node {  
96.     int value;  
97.     Node left;  
98.     Node right;  
99.       
100.     public Node(int value, Node left, Node right) {  
101.         this.value = value;  
102.         this.left = left;  
103.         this.right = right;  
104.     }  
105.       
106.     public Node(int value) {  
107.         this.value = value;  
108.         this.left = null;  
109.         this.right = null;  
110.     }  
111. }  

 

 

3. 后序遍历

 

基本思想：如果这两个节点不在一条线上（即这两个节点不存在一个节点是另一个节点的祖先的情况），则它们必定分别在所求节点A的左子树和右子树上，后序遍历到第一个满足这个条件的节点就是所要求的节点A。否则，当这两个节点在一条线上，所求节点A则是这两个节点中深度最低的节点的父节点。

1. bool lca(Node *root, int va, int vb, Node *&result, Node* parent)  
2. {  
3.     // left/right 左/右子树是否含有要判断的两节点之一   
4.     bool left = false, right = false;  
5.     if (!result && root->left) left = lca(root->left,va,vb,result,root);  
6.     if (!result && root->right) right = lca(root->right,va,vb,result,root);  
7.   
8.     // mid 当前节点是否是要判断的两节点之一   
9.     bool mid = false;  
10.     if (root->data == va || root->data == vb) mid=true;  
11.     if (!result && int(left + right + mid) == 2) {  
12.         if (mid) result = parent;  
13.         else result = root;  
14.     }  
15.     return left | mid | right ;  
16. }  
17.   
18. Node *query(Node *root,int va, int vb)  
19. {  
20.     if (root == NULL) return NULL;  
21.     Node *result = NULL;  
22.     lca(root, va, vb,result, NULL);  
23.     return result;  
24. }