SJTU OJ 1073 能量项链

1. 问题描述

   Description

   在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m×r×n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

   需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

   例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。

   我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。 则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为： (4⊕1)=10×2×3=60。

   这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

   Input Format

   输入文件的第一行是一个正整数N（4≤N≤100 ），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。

   　第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N ）当（1≤i≤N ）时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。 至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

   Output Format

   输出文件只有一行，是一个正整数E（E≤2100000000 ），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

   说明

   NOIP2006提高组

   Sample Input

   4
   2 3 5 10

   Sample Output

   710

   
   

2. 解题思路

1. 问题分析
   

   由于我们只能合并相邻的两个能量珠，而且根据能量释放的规律：

         如果环只有两个珠子，那么释放的能量是恒定的。

         如果有三个则取决于先结合哪两个珠子结合能最大，这样又剩下两个珠子了，在这种情况下，不管你选哪两个珠子先进行结合，其结果是一样的，不同的是新珠子和剩下的珠子所结合生成的能量。

        如果有四个，我们结合两个，剩下三个，又需要进行如上操作。但是，如果我们在四个中先选取结合能最大的两个结合，然后再在剩下的三个选取两个结合能最大的结合这样并不能保证总和一定是最大的。解决方法都是：假设我们已经有了四种长度为三的子链首尾相接形成的环的最优解，只需要对当前选择的两个珠子与相应的子链首尾相接形成的环的最优解的值求和即可，枚举选最大即可。

   ……

         如果有k+1个珠子，（1，2，...，k，k+1），E[i][j]表示以第i个为起点第j个珠子为终点按顺序形成的环的结合能的最优解则

                 E[1][k+1] = max{E[i][j] + E[结合]} ( j - i + 1 == k ）

2. 具体实现

   将数组加倍储存来模拟一个环。

             E[i][j] = c[i]*c[i+1]*c[j] (j - i == 1， i ： 0 ~ n-1);

        长度为n，令断点为k，即先结合第k个与其后一个，以例题为例如下：

        j : 3 -> 6


        k : j - 3;

        |2 3 5 10| 2 3 5 10

        2 |3 5 10 2| 3 5 10

        2 3 |5 10 2 3| 5 10

        2 3 5 |10 2 3 5| 10 (此时最大 k = 3 = i, j = 6 )


        E[3][6] = c[k]*c[j]*c[j+1] + E[k+1][j] 

        推广开来 E 分为三部分 左右以及分界点处释放的结合能；





#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

int nl[210],f[210][210],n;

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		cin>>nl[i];
		nl[n + i] = nl[i];
	} 
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int j = 1; j < 2*n - 1; ++j)
	{
		for(int i = j - 1; i > -1 && j - i < n; --i)
		{
			if(j - i == 1) f[i][j] = nl[i]*nl[j]*nl[j+1];
			else
				for(int k = i; k < j; ++k)
					f[i][j] = max(f[k+1][j]+f[i][k]+ nl[i]*nl[k+1]*nl[j+1], f[i][j]);
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i < n ; ++i)
		ans = max(f[i][i+n-1],ans);
	cout<<ans;
}