拓扑学中欧拉公式的证明

欧拉公式,V+F-E=2意思是一个多面体,顶点数目V+面的数目F-边的数目E=2.

中学的时候很早就知道了,但没有证明过,现参考了一些文档,证明如下:

先考察平面上的一些图像,一根线段V+F-E=2+0-1=1.

两根线段V+F-E=3+0-2=1.三角形V+F-E=3+1-3=1.

假设有一个图形有V=v,F=f,E=e。设v+f-e=x当图形中有多边形有3条边以上,划一个对角线。在构成一个三角形。此时V=v,F=f+1,E=e+1.则V+F-E=v+f+1-(e+1)=v+f-e=x。即V+F-E的值没变。

1.每次移除和外部空间共享2条边的三角形,那么V=v-1,F=f-1,E=e-2。此时V+F-E的值没变。

2.接着依次移除和外部空间共享1条边的三角形的那条共享边,则V=v,F=f-1,E=e-1.此时V+F-E的值没变。

考虑到有可能执行步骤2之后,又会出现外部空间共享2条边的三角形,此时需要再次执行步骤1.在这样步骤1和步骤2之间循环数次,知道最后只剩下一个和外部共享3条边的一个三角形。到此时此时V+F-E的值始终没变。因此V+F-E=1.

 

设想,当多面体中取走任意一个面,再将多面的展开铺平,就会出现平面上的类似网格图形。因此反过来,将平面上的多边形折笼起来,所有外部的点连接起来成为一个多边形。此多边形就是一个面,有了这个面,平面上的多边形可以完整的拼成多面体。

因此多面体就会比平面上的面再多1个面,因此V+F-E=2.事实上,可以将多边形的外部区域看做是对应的最后一个面。因此,平面上的多边形,点,线,和所分割的平面也满足欧拉公式V+F-E=2。

证毕。

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