拓扑学中欧拉公式的证明

欧拉公式，V+F-E=2意思是一个多面体，顶点数目V+面的数目F-边的数目E=2.

中学的时候很早就知道了，但没有证明过，现参考了一些文档，证明如下：

先考察平面上的一些图像，一根线段V+F-E=2+0-1=1.

两根线段V+F-E=3+0-2=1.三角形V+F-E=3+1-3=1.

假设有一个图形有V=v，F=f，E=e。设v+f-e=x当图形中有多边形有3条边以上，划一个对角线。在构成一个三角形。此时V=v，F=f+1,E=e+1.则V+F-E=v+f+1-(e+1)=v+f-e=x。即V+F-E的值没变。

1.每次移除和外部空间共享2条边的三角形，那么V=v-1，F=f-1，E=e-2。此时V+F-E的值没变。

2.接着依次移除和外部空间共享1条边的三角形的那条共享边，则V=v,F=f-1,E=e-1.此时V+F-E的值没变。

考虑到有可能执行步骤2之后，又会出现外部空间共享2条边的三角形，此时需要再次执行步骤1.在这样步骤1和步骤2之间循环数次，知道最后只剩下一个和外部共享3条边的一个三角形。到此时此时V+F-E的值始终没变。因此V+F-E=1.

 

设想，当多面体中取走任意一个面，再将多面的展开铺平，就会出现平面上的类似网格图形。因此反过来，将平面上的多边形折笼起来，所有外部的点连接起来成为一个多边形。此多边形就是一个面，有了这个面，平面上的多边形可以完整的拼成多面体。

因此多面体就会比平面上的面再多1个面，因此V+F-E=2.事实上，可以将多边形的外部区域看做是对应的最后一个面。因此，平面上的多边形，点，线，和所分割的平面也满足欧拉公式V+F-E=2。

证毕。