面试100题之18

题目：如果字符串一的所有字符按其在字符串中的顺序出现在另外一个字符串二中，则字符串一称之为字符串二的子串。注意，并不要求子串（字符串一）的字符必须连续出现在字符串二中。请编写一个函数，输入两个字符串，求它们的最长公共子串，并打印出最长公共子串。
例如：输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB，字符串BCBA和BDAB都是是它们的最长公共子串，则输出它们的长度4，并打印任意一个子串

这道题用动态规划的思想来做，经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

 

我们用一个矩阵（参考代码中的LCS_length）保存下来当前已经计算好了的c[i,j]，当后面的计算需要这些数据时就可以直接从矩阵读取。另外，求取c[i,j]可以从c[i-1,j-1] 、c[i,j-1]或者c[i-1,j]三个方向计算得到，相当于在矩阵LCS_length中是从c[i-1,j-1]，c[i,j-1]或者c[i-1,j]的某一个各自移动到c[i,j]，因此在矩阵中有三种不同的移动方向：向左、向上和向左上方，其中只有向左上方移动时才表明找到LCS中的一个字符。于是我们需要用另外一个矩阵（参考代码中的LCS_direction）保存移动的方向。

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

#include "stdafx.h"
#include <vector>
#include "iostream"
#include<algorithm>
using namespace std;
enum{kInt=0,kLeft,kUp,kLeftUp};
void Print_LSC(int **LSC_direction,char *str1,char *str2,int row,int col)
{
    if(str1==NULL||str2==NULL)
        return;
    int length1=strlen(str1);
    int length2=strlen(str2);
    if(length1==0||length2==0)
        return;
    if(LSC_direction[row][col]==kLeftUp)
    {
        if(row>0&&col>0)
            Print_LSC(LSC_direction,str1,str2,row-1,col-1);
        cout<<str1[row]<<endl;
    }
    else if(LSC_direction[row][col]==kLeft)
    {
        if(col>0)
            Print_LSC(LSC_direction,str1,str2,row,col-1);
    }
    else if(LSC_direction[row][col]==kUp)
    {
        if(row>0)
            Print_LSC(LSC_direction,str1,str2,row-1,col);
    }
}
int LCS(char *str1,char *str2)
{
    if(str1==NULL||str2==NULL)
        return 0;
    int length1=strlen(str1);
    int length2=strlen(str2);
    if(length1==0||length2==0)
        return 0;
    int **LSC_length=new int*[length1];
    for(int i=0;i<length1;i++)
    {
        LSC_length[i]=new int[length2];
        memset(LSC_length[i],0,sizeof(int)*length2);
    }

    int **LSC_path=new int*[length1];
    for(int j=0;j<length1;j++)
    {
        LSC_path[j]=new int[length2];
        memset(LSC_path[j],0,sizeof(int)*length2);
    }
    for(int i=0;i<length1;i++)
        for(int j=0;j<length2;j++)
        {
            if(i==0||j==0)
            {
                if(str1[i]==str2[j])
                {
                    LSC_length[i][j]=1;
                    LSC_path[i][j]=kLeftUp;
                }
                else
                    LSC_length[i][j]=0;
            }
            else if(str1[i]==str2[j])
            {
                LSC_length[i][j]=LSC_length[i-1][j-1]+1;
                LSC_path[i][j]=kLeftUp;
            }
            else if(LSC_length[i-1][j]>LSC_length[i][j-1])
            {
                LSC_length[i][j]=LSC_length[i-1][j];
                LSC_path[i][j]=kUp;
            }
            else
            {
                LSC_length[i][j]=LSC_length[i][j-1];
                LSC_path[i][j]=kLeft;
            }
        }
        Print_LSC(LSC_path,str1,str2,length1-1,length2-1);
        return LSC_length[length1-1][length2-1];
}




int main(int argc, char* argv[])
{
    char *a="BDCABA";
    char *b="ABCBDAB";
    cout<<LCS(a,b)<<endl;;
    return 0;
}

 

 

 

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：