高斯―若当消元法

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高斯消元法始终是消去对角线下方的元素，如果在每次消元过程中，首先将主元素化为1， 并消去对角线上方与下方的元素，这种方法称为高斯 ― 若当(Gauss-Jordan)消元法.它不需要回代过程即可求得线性方程组的解.

例1 用高斯 ― 若当消元法求解线性方程组

 

解 方程组的增广矩阵经高斯 ― 若当消元法，得

 

故原方程的解为

设用高斯 ― 若当消元法已完成 步，于是线性方程组 化为等价方程组 ,其中

满足

，

 

次消元后，得原方程组的解为

与高斯消元法相同，高斯 ― 若当消元法也可进行全主元素消元法及列主元素消元法.��

初看起来，似乎高斯 ― 若当消元法比高斯消元法好，然而只要我们稍作分析就会发现它的运算量比高斯消元法要大.

使用公式(1) ― (5)，对每一个 需要 次除法, 次乘法，及 次减法，故乘除法总运算量是

加减法总运算量是

在第二节中我们曾指出 ， 高斯消元法的运算量 ， 乘除法次数为 , 加减法的次数为 ， 从而 ， 高斯 ― 若当消元法比高斯消元法的运算量乘除法多 次 ， 加减法多 次。当 值较大时，高斯消元法比高斯 ― 若当消元法节省 次乘除法和加减法，这个运算量是十分可观的.

二 逆矩阵

高斯 ― 若当消元法对求 一个矩阵的逆矩阵，或对求解仅常数项不同的很多方程组及矩阵方程是非常有用的.

�デ缶卣� 的逆矩阵 ，即求 阶矩阵 ，使 ，其中 为 阶单位矩阵.�Ы�矩阵分块

于是，求解 等价于求解 个方程组

由线性代数理论，我们有下面结论.

定理   设 为非奇异矩阵，方程组 的增广矩阵为 ，如果对 应用高斯-若当方法化为 ，则

例2      用高斯 ― 若当消元法求

的逆矩阵 .

解

                

所以

 

为 了节省存储单元，可不必将单位矩阵存放起来.作为第一步结果的式(9)中第1列已无用处，而第4列又相当于逆矩阵所求第1列的中间结果，把它移到第1列不 影响简化过程的实质.而且第5、6两列的常数项可取消，它们对简化也无实质影响，所以，最终按原位记法(9)式的结果可存放为

同理,式(10)中的 阶矩阵将第4列移到第1列，第5列移到第2列，取消第6列，则按原位记法为

 

 

式(11)的原位结果为

即为我们所要求的逆矩阵 ,所以在计算中求逆矩阵的过程可简记为

        

  =

一般地，逆矩阵的计算公式为

式(12) ― (15)就是求逆矩阵的基本计算公式，对应于每一个 值就是完成了一个消元过程，在消元过程进行中 和 变量在规定的范围内进行循环.

我们知道,只要矩阵 的行列式 ,则 总 是可逆的,然而,当主元素为零或绝对值太小时,按上述方法计算机可能要溢出，因此，在约化的过程中也应采用选主元素的方法,如果互换矩阵的两行,对方程组 的解来说,这样的对换对结果没有影响;而对求逆矩阵来说,这样的对换改变了所要求的逆矩阵.事实上,是逆矩阵也作了相应两列的互换,所以,计算逆矩阵也可 以

通过列主元素消元法,只要记住行的交换,然后在结果中施行相应的列交换即可.

高斯消元法进行多元一次方程组的求解

1	1	1	6
2	-1	3	5
4	2	-3	3

 

假设SHEET1中，A1：D3(上面的示例数据) 的数据代表一个 三元一次方程组：

   x1+x2+x3=6
   2x1-x2+3x3=5
   4x1+2x2-3x3=3

 

求x1,x2,x3

 

 

 Function Determinant(ByRef factor) As Single
            Dim i     As Long, j       As Long, k       As Long, row       As Long, order       As Long
            Dim r     As Long, c       As Long, Pivot       As Single, Pivot2       As Single, temp()       As Single
            Determinant = 1
            Dim m
             
            m = factor
            row = UBound(m, 1)
            If Not UBound(m, 2) = row + 1 Then MsgBox "无解或不定解！":                       Exit Function
            ReDim temp(1 To row)
             
            For i = 1 To row
             
                      Pivot = 0
                      For j = i To row
                                For k = i To row
                                          If Abs(m(k, j)) > Pivot Then
                                                    Pivot = Abs(m(k, j))
                                                    r = k:       c = j
                                          End If
                                Next k
                      Next j
                       
                      If Pivot = 0 Then Determinant = 0:                 Exit Function
                       
                      If r <> i Then
                                order = order + 1
                                For j = 1 To row
                                          temp(j) = m(i, j)
                                          m(i, j) = m(r, j)
                                          m(r, j) = temp(j)
                                Next j
                      End If
                       
                      If c <> i Then
                                order = order + 1
                                For j = 1 To row
                                          temp(j) = m(j, i)
                                          m(j, i) = m(j, c)
                                          m(j, c) = temp(j)
                                Next j
                      End If
                       
                      Pivot = m(i, i)
                      Determinant = Determinant * Pivot
                       
                      For j = i + 1 To row
                                Pivot2 = m(j, i)
                                If Pivot2 <> 0 Then
                                          For k = 1 To row
                                                    m(j, k) = m(j, k) - m(i, k) * Pivot2 / Pivot
                                          Next
                                End If
                      Next
                       
            Next
             
            Determinant = Determinant * (-1) ^ order
  End Function
   
  Sub getresult(ByVal r As Range, Optional ByRef answer As String)
  Dim row     As Integer, i       As Integer, D0       As Single
  Dim m
  Dim factor
  Dim result()     As String
  factor = r
  row = UBound(factor, 1)
  ReDim result(1 To row)
  D0 = Determinant(factor)
  If D0 = 0 Then MsgBox "无解！":               Exit Sub
  For i = 1 To row
    m = factor
  For j = 1 To row
  m(j, i) = factor(j, row + 1)
  Next
  result(i) = "X" & i & "=   " & Format(Determinant(m) / D0, "0.00")                         '   Di/D0
  Next
  answer = Join(result, vbCrLf)
  End Sub
   
  Sub solver()
  Dim answer     As String
  getresult [a1:d3], answer
  MsgBox answer, 0, "答案"
  End Sub