用数组实现打印小于10000的素数的快速算法

      这是从塞奇威克的《算法：C语言实现》第二部分拾得的一个用数组实现打印小于10000的素数的例子。代码和部分说明摘自本书。

      这个方法可以追溯到公元前三世级，被称为埃拉托色尼筛法（sieve of Eratosthenes）。

 

#define N   10000
main() {
    int i, j, a[N];
    for ( i = 2; i < N; i++ ) {  /* 初始化所有的元素为1 */
        a[i] = 1;
    }
    for ( i = 2; i < N; i++ ) {  /* 从2开始遍历数组，找出小于N的所有素数 */
        if ( a[i] ) {  /* 判断i是否为素数，避免重复计算 */
            for ( j = i; i*j < N; j++ ) {/* 标记i的倍数为非素数，注意是从i的i倍开始 */
                a[i*j] = 0;
            }
        }
    }
    for ( i = 2; i < N; i++ ) {  /* 从2开始遍历数组 */
        if ( a[i] ) {  /* 如果a[i]为0，说明 i 是素数，打印之 */
            printf( "%4d ", i );
        }
    }
    printf( "\n" );
}

       这个算法充分利用了数组快速索引的优点。如果自然数 i 为素数，则设 a[i]为1，否则设为0。首先把数组中所有元素标记为1，表示没有任何数已被证明是非素数（L4-L6）。然后，把数组中所对应索引处已证明是非素数（已知素数的倍数）的元素标记为0（L7-L13）。如果比 i 小的所有素数的倍数都已标记为0，a[i]仍然为1，则可知它是素数（L14-L19）。

      L8的 if ( a[i] ) 判断语句能够避免重复计算，提高计算速度。

      （1）若a[i] == 0，表明 i 为非素数，则可知在 i 被标记为非素数的那个循环中，所有 i 的倍数也被标记为非素数，这是根据一个简单的数学原理：（| 表示整除）如果a | b，b | c，则a | c。比如，我们不需要找6的倍数（12，18，24...）然后将它们标记为非素数——因为在找2的倍数时我们已经标记了！

          （2）若a[i] == 1，则表明 i 为素数，我们不能保证它的所有倍数都已为标记为非素数，比如：5的7倍为35，它是个非素数，但在5前遍历2和3的倍数时都没有被标记上，所以我们自然进入第三个for循环找寻它的倍数。注意，我们从 i 的 i 倍开始找寻，这是因为所有 i 的 k 倍（ 1 < k < i）在前面的遍历中一定被标记为非素数了的，这里就不用重复找寻了。比如：5的3倍为15，它在遍历3时已作为3的5倍被标记上了。

   

           由于数组a[]的每个元素都只需要两个数（比如 0 和 1）来表明是素数或是非素数，我们可以用char型替代int型。素数标记为'1'，非素数标记为'0'。判断语句改为if ( a[i] == '1' )。如果int型占4字节，char型占1字节，N取10,000，则可以节约 ( 4 - 1 ) * 10,000 = 30,000 字节，约 30 KB的内存。

         本书数组那一节还有一个例子，讲如何利用数组快速索引的优点模拟伯努利实验，也值得学习学习。

 

        这两本书从当当订购上周末刚到，书评区小骂了一下可恶的快递和快递员，结果书评被和谐了（意料之中），唉。幸好，书没被和谐掉就OK啦。