为什么要学数学--读《给讨厌数学的人》第四章之读书笔记

《给讨厌数学的人》第四章--归谬法,归纳法,充分必要条件,对偶的彻底解析
  • 卡尔.马克思(Karl Marx,1818-1883)
    • 主张资本主义的兴衰和共产主义的实现。实践其思想的苏维埃帝国却搞错了必要条件和充分条件的逻辑,一致走向崩溃。
  • 形式逻辑学的精华:归谬法
    • 归谬法:就是以什么为前提,会导致不合理的结果,因而得出的前提是错误的结论。
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      “非欧几何学”,发现者是:俄国的尼古拉斯.伊瓦诺比奇。罗巴切夫斯基
      • 公理不是绝对的,而是数学家订出来的。
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    • 归谬法的形式:
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        证明事项:P。
      • full-2
        假设:非P。
      • full-3
        从假设得出的结论:假的叙述
      • full-4
        结论:非P。为假,因此P。为真
    • 两难推理:从两边夹住对方,使之进退两难的辩证法,在讨论和辩论时极为有效。
      • flag
        实例:学生和老师订立契约,如学生打赢了第一场官司就需要付学费。但是课程结束,学生一直没有付学费。老师将学生告上法庭。
        • 学生辩护:
          • 如果我输了这场官司,我就不需要付学费。(因为我和老师之间有契约)
          • 如果我赢了这场官司,我就不需要付费给老师。(因为老师输掉了请求支付学费的官司)
          • 依照上面,我不需要付学费给老师 User Link
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        • 老师辩护:
          • 如果我赢了这场官司,学生就必须付学费给我(因为我赢了官司)
          • 如果我输了这场官司,我的学生也必须付学费给我。(因为依照契约,他赢了第一场官司)
          • 依照上面,学生必须付学费给我。 User Link
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    • 归谬法活用的是典型的矛盾律
    • 从发现真理到建构模型的大转换
      • 古希腊人所说的“空间”,除了欧几里德得空间,还有其他超乎想象的空间。
    • full-1
      实例:毕达哥拉斯就是用归谬法证明了2的根不是有理数。
    • full-2
      友人将武器寄存在我这里,我处于正义应该还。但此友发疯,我该还?
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        证明事项:说真话,把受托的东西还回去不是正义的正确定义。
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        假设:说真话,把受托的东西还回去是正义的正确定义。
      • button_ok
        从假设得出结论:把武器还给疯子是对的,但是这种行为很奇怪。
      • button_cancel
        所以说真话,把受托的东西换回去并非正义的正确定义。
  • 数学之外的所有科学都是不完整的:归纳法
    • 近代科学和归纳法
      • 定义:根据某特定的事项提出判断,亦即所谓的特命题为前提,推出“所有事项的判断”,亦称为全称命题(Universal proposition)的结论
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        归纳法导出的结论有可能不是真的,只能说可能是真的哦。
        • 乌鸦是黑的
          • 这个命题意味着看到的乌鸦都是黑的,但是从“经验”看遍所有的乌鸦是不可能的。
        • 正确的说法是:我看到的乌鸦是黑的。
          • 这是所谓的特称命题。
      • 特称命题
        • 人的经验,实验,实证都可以成为特称命题
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      • 全称命题
        • 科学的真理全是全称命题
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      • 从特称命题导出全称命题的归纳法不见得正确
    • 心理学的实验和物理学
      • 纯粹的现实观察并不能算是实现,如果是实验就必须分离变量(separation of variables)
        • 老师:变量的分离就像这个情形:假设有家医院的病人接二连三的死去,是什么原因?大家都猜想是环境不佳,于是把医院换到了环境更好的地方
        • 学生:医院可以这么轻易的搬迁吗?
        • 老师:这个假设的模型,你就想象一下。
        • 学生:好吧。
        • 老师:可是还是一直有人死去,所以原因并不在环境上。于是尝试更换药品,病人依旧死去。所以原因不在药品中。然后就更换医生,可是病人还是死去。所以原因和医生无关。有一天,院长突然猝死,从此再也没有病人死亡。这下才知道,原来院长是庸医。这就是变量分离的概念。

        • 做实验是为了确认某结果的原因
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            原因有可能是a,b,c....z。先把b,c....z视之为一定(不变),只改变a,这是结果得出不一样的结果,就可以推出a就是原因所在。此种做法就是所谓的“变量分离”。

      • 心理学实验的方式
        • 刺激(Stimulus)
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        • 生物体
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        • 反射(R)reflex
      • 心理学研究方法的目的
        • 明确原因和结果的因果关系
      • 物理化学实验等自然科学实验中使用的归纳法都称为“不完全归纳法”(incomplete induction)
    • 基本教义派对科学的批判
      • 基督科学派的观点:唯有神真的存在。因为神是善的,所以恶是不存在的。疾病,衰老,痛苦都不是真的存在。因此生病的痛苦不过是人的妄念,一旦自觉到那是妄念,它就会消失。
    • 完整的归纳法是数学独有的
  • 社会科学最重要的概念:必要条件和充分条件
    • A成立B也一定成立时,B就是A的必要条件
    • B命题不成立,A命题也一定不成立
  • 对偶逻辑:事情不顺利时的思考法

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