图的顶点间最小路径问题

一、迪杰斯特拉算法(Dijkstra)

1、条件：图为邻接矩阵结构(Adjacency List)

2、原理：以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

3、code：

void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G,int v0,Patharc *p)
{
    int v,w,min;
    int final[MAXVEX];    /*final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径*/
    for(v=0;v<G.numVertexes;v++)    /*初始化数据*/
    {
        final[v]=0;    /*全部顶点初始化为位置最短路径状态，若值为1表示v顶点的最短路径已经求出*/
        (*D)[v]=G.arc[v0][v];    /*将与v0点有连线的顶点加上权值,D[v]=m表示v到v0的权值为m*/
        (*P)[v]=0;    /*初始化路径数组P为0，若P[v]=m表示路径为m―>v*/
    }
    (*D)[v0]=0;    /*v0到v路径为0*/
    final[v0]=1;    /*v0到v0不需要就路径*/
    /*主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径*/
    for(v=1;v<G.numVertexes;v++)
    {
        min=INFINITY;     /*当前所知离v0顶点的最短路径*/
        for(w=0;w<G.numVertexes;w++)    /*寻找离v0最近的顶点*/
        {
            if(!final[w] && (*D)[w]<min)
            {
                k=w;
                min=(*D)[w];
            }
        }
        final[k]=1;    /*将目前找到的最近的顶点设置为1*/
        for(w=0;w<G.numVertexes;w++)    /*修改当前v0到每个顶点的最短路径*/
        {
            /*如果经过v顶点的权值比现在这条路径的长度短的话*/
            if(!final[w] && (min+G.arc[k][w]<(*D)[w]))
            {
                /*说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w]*/
                (*D)[w]=min+G.arc[k][w];    /*修改当前路径长度*/
                (*P)[w]=k;
            }
        }
    }
}

4、说明：和Prim算法很相似；时间复杂度为O(n^3)

 

二、弗洛伊德算法(Floyd)

1、条件：图为邻接矩阵结构(Adjacency List)

2、原理：

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

采用的是(松弛技术)，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

map[i,j]表示i到j的最短距离

K是穷举i,j的断点

map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路

3、code：

void ShortestPath_Floyd(MGraph G,Pathmatirx *P,ShowrtPathTable *D)
{
    /*D代表顶点到顶点的最短路径权值和的矩阵*/
    /*P代表对应顶点的最小路径的前驱矩阵*/
    int v,w,k;
    for(v=0;v<G.numVertexes;++v)    /*初始化D与P*/
    {
        for(w=0;w<G.numVertexes;++w)
        {
            (*D)[v][w]=G.matirx[v][w];    /*D[v][w]值即为对应点间的权值*/
            (*P)[v][w]=w;    /*初始化P*/
        }
    }
    for(k=0;k<G.numVertexes;++k)
    {
        for(v=0;v<G.numVertexes;++v)
        {
            for(w=0;w<G.numVertexes;++w)
            {
                if((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
                {
                    /*如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短*/
                    /*将两点间权值设置为更小的一个*/
                    (*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];
                    (*P)[v][w]=(*P)[v][k];    /*路径设置经过下标为k的顶点*/
                }
            }
        }
    }
}

4、说明：时间复杂度为O(n^3)；这个算法可以计算所有顶点到顶点的距离，而Dijkstra是计算一个顶点到其他顶点的最短距离