HDU 3081 Marriage Match II(二分+并查集+最大流)

HDU 3081 Marriage Match II(二分+并查集+最大流)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3081

题意:

有N个女孩要与N个男孩玩配对游戏.每个女孩有一个可选男孩的集合(即该女孩可以选自己集合中的任意一个男孩作为该轮的搭档).

然后从第一轮开始,每个女孩都要和一个不同的男孩配对.如果第一轮N个女孩都配对成功,那么就开始第二轮配对,女孩依然从自己的备选男孩集合中选择,但是不能选那些已经被该女孩在前几轮选择中选过的男孩了(比如i女孩在第一轮选了j男孩,那么i在第二轮就不能选j男孩了). 问你游戏最多能进行多少轮?

分析:

首先该题可以用两种方法来做:

1是二分图最大匹配,即首先建立女孩与男孩的二分图,并且连好可能的边. 然后进行一轮匹配,如果此时有完备匹配,那么就删除这些匹配边,进行第二轮匹配,如果还有完备匹配,就继续…

2是最大流. 源点s为0,汇点t为2*n+1.女孩编号1到n,男孩编号n+1到2*n. 假设我们当前二分尝试的轮数为K(即能够进行K轮匹配):

首先如果女孩i可能选择男孩j,那么就有边(i, j+n, 1).且源点到每个女孩i有边(s,i,K),每个男孩j到汇点t有边(j+n,t,K).

如果最大流==K*n,那么就表示可以进行最少K轮匹配.

我们下面用最大流的方法做,首先为什么上面的解法是正确的呢?

证:如果满流,那么每个女生肯定选择了K个不同的男孩,每个男孩肯定被K个不同的女孩选择了(因为一个女孩到一个男孩边容量只为1,所以该女孩最多只能选该男孩一次).

那么上面这样就能保证这个游戏可以进行K轮吗?可以的,假设当前图的流量为0,说明任何女孩都没选男孩. 你可以想象假如此时从S到所有女孩有流量1(虽然容量是K,但是目前我们只放出1流量)流出,那么这些流量肯定会汇集到t(因为最大流为K*n,而我们此时只不过n流量).这个汇集的过程就是第一轮女孩选择了各自不同男孩的结果. 现在从S到所有女孩又有流量1流出(即第二轮开始了),这些流量肯定又经过了n个男孩汇集到t点了 且 如果上一轮i女孩的流量走到j男孩,这一轮i女孩的流量肯定不走j男孩了(因为i女孩到j男孩的边只有1容量).

综上所述,只要最大流==K*n,那么就能进行K轮.(如果能进行K轮配对,是不是最大流也一定==K*n呢? 这个也是一定的,也是按照上面的模型过程模拟即可. 它们互为充要条件)

大问题解决了,现在还有一个小问题: 即如果女孩{1,2,3,4,5,6,7,8,9}是朋友的话,且2号女孩能选择男孩3,我们如果标记来使得其他所有女孩都能选择男孩3呢?

上面这个问题可以用两个方法来解:1是并查集,2是floyd传递闭包.(其实这两个方法的思想都一样)

下面说说并查集的做法:如果女孩i与女孩j是朋友,那么就把他们所属的并查集合并,最终所有女孩都必定属于一个并查集. 对于女孩u与女孩v如果她们同属于一个并查集(如果用floyd传递闭包,这里就是可达关系,即u与v互相可达),那么遍历n个男孩,合并u与v女孩与各个男孩的关系.

(注意:不要把男孩也算进并查集,比如女孩1与男孩2能选,女孩3与男孩2能选,但是女孩1与女孩3可不是朋友,她们不属于同一个并查集)

AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define INF 1e9
using namespace std;
const int maxn= 2020+5;

struct Edge
{
    int from,to,cap,flow;
    Edge(){}
    Edge(int f,int t,int c,int flow):from(f),to(t),cap(c),flow(flow){}
};

struct Dinic
{
    int n,m,s,t;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int d[maxn];
    bool vis[maxn];
    int cur[maxn];

    void init(int n,int s,int t)
    {
        this->n=n, this->s=s, this->t=t;
        edges.clear();
        for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
    }

    void AddEdge(int from,int to,int cap)
    {
        edges.push_back( Edge(from,to,cap,0) );
        edges.push_back( Edge(to,from,0,0) );
        m=edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }

    bool BFS()
    {
        queue<int> Q;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        vis[s]=true;
        d[s]=0;
        Q.push(s);
        while(!Q.empty())
        {
            int x= Q.front(); Q.pop();
            for(int i=0;i<G[x].size();++i)
            {
                Edge& e=edges[G[x][i]];
                if(!vis[e.to] && e.cap>e.flow)
                {
                    vis[e.to]=true;
                    d[e.to]=d[x]+1;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x,int a)
    {
        if(x==t || a==0) return a;
        int flow=0,f;
        for(int& i=cur[x]; i<G[x].size();++i)
        {
            Edge& e=edges[G[x][i]];
            if(d[e.to]==d[x]+1 && (f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow) ) )>0)
            {
                e.flow +=f;
                edges[G[x][i]^1].flow -=f;
                flow +=f;
                a-=f;
                if(a==0) break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int max_flow()
    {
        int ans=0;
        while(BFS())
        {
            memset(cur,0,sizeof(cur));
            ans +=DFS(s,INF);
        }
        return ans;
    }
}DC;

int fa[maxn];
int findset(int x){ return fa[x]==-1?x : fa[x]=findset(fa[x]); }
void bind(int i,int j)
{
    int fi=findset(i);
    int fj=findset(j);
    if(fi != fj) fa[fi]=fj;
}

bool dist[maxn][maxn];

bool solve(int n,int limit)
{
    int src=0, dst=2*n+1;
    DC.init(n*2+2,src,dst);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=n+1;j<=2*n;++j)if(dist[i][j])
        DC.AddEdge(i,j,1);
    for(int i=1;i<=n;i++) DC.AddEdge(src,i,limit);
    for(int j=n+1;j<=n*2;++j) DC.AddEdge(j,dst,limit);

    return DC.max_flow() == n*limit;
}

int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,m,f;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&f);
        memset(fa,-1,sizeof(fa));
        memset(dist,0,sizeof(dist));
        while(m--)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            dist[u][v+n]=true;
        }
        while(f--)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            bind(u,v);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        if(findset(i) == findset(j))//属于同一个并查集的 就合并他们的所有与男生的关系
        for(int k=n+1;k<=n*2;++k)
        {
            dist[i][k] = dist[j][k] = (dist[i][k] || dist[j][k]);
        }

        int L=0,R=100;
        while(R>L)
        {
            int mid = L+(R-L+1)/2;
            if(solve(n,mid)) L=mid;
            else R=mid-1;
        }
        printf("%d\n",L);
    }
    return 0;
}