断棍构造过程-波利亚翁方案-中餐馆过程

介绍三种构造狄利克雷过程的方法

1. 断棍构造过程（Stick-Breaking Construction）

给出了一种显式采样方法，即构造一个有明确定义的G ，使得G满足狄利克雷过程。

构造：第一步，给定一个正实数 ，先从beta分布中构造一个，，这里k从1到 ；再利用构造一个，。之所以要这样得到是为了让 ，即我们希望得到一个概率质量函数。

    第二步，从参数空间 中的一个基分布H 中采样一个参数序列 ，这个 是服从分布H的。

    第三步，把他们合在一起构成离散分布 ，这便是狄利克雷过程的一个采样。

记为 ~GEM( ).

1. 波利亚翁方案

这种方法并不去显式的构造分布G，而是根据后验分布的性质 。

方法：从狄利克雷过程当中观察得到N个观测值时，这些 的取值可能有K个不同值，记作,那么下一个观测值的条件分布为：

，注意这里只取了分布中的期望部分， 是取值为 的个数。

这个东西有一个形象的理解：我们要从一个翁和一个分布H中取彩球，从翁中取球的概率正比于翁中球的个数，从H中取球的概率正比于 。刚开始的时候翁是空的，从H中取球，放进翁中。如果球是从翁中取出的就放进一只同样颜色的球，这样每次取出颜色为的球的概率就正比于翁中已有的颜色为 的球。

1. 中餐馆过程（Chinese Restaurant Process）

如果我们从狄利克雷过程中按波利亚瓮方案采样，它们取K < N 个不同的值，那么这N 个样本就形成了K 个团簇。也就是说，随机地按波利亚瓮方案采样N 个观察值对应着对整数集合{1,…,N}的一个划分，每一种划分方式都存在一定的概率，描述这种划分的分布叫做中餐馆过程

为了更明显的区分与，我们把类别标号写成 ， ,即。则有。

中餐馆过程是一种聚类过程，假设餐馆中没有顾客，刚进来的第一个人随机选择一张桌子坐下，每张桌子代表一类，后进来的顾客按照如下原则选择桌子：以概率 选择第k张已经有人的桌子坐下，以概率的概率选择一张没有人的桌子坐下。这样人数越多的桌子越有可能聚集更多的顾客形成团簇效果。

中餐馆过程具有一个性质在后面的讨论中要用到——可交换性（exchangeability ）.说的是形成划分如果相同，那么与采样顺序是无关的，也就是在形成一个聚类效果之后，无论顾客进入餐馆的顺序如何，这种聚类的概率是相同的。

    优势：由于分类中会以概率 引进新的类别，所以这种聚类的聚类个数不需要人为指定。