SCNU 2015ACM新生赛初赛【1006. 3D打印】解题报告

 

      题目链接详见SCNU 2015新生网络赛 1006. 3D打印 。出题思路来自codevs 3288. 积木大赛，属于模拟题。

 

      首先我们把“选择从第L部分到第R部分”理解为“选择一段连续的部分”，OK，基本题意为：给定N个部件的高度，每次可以给连续的一段增加高度$1$，问至少需要几次增加高度的操作？

 

      不少人认为，直接模拟这个操作，循环给它$+1$，数加几次能达到要求高度就可以了。但很可惜这是会超时TLE哒。我们考虑极端情况，总共有$10^{5}$个部分，高度$h_{i}$是$0$和$10^{5}$相间的，这样总共需要$\frac {10^{5}} {2}$$\times$$10^{5}$$=$$5$$\times$$10^{9}$次操作，复杂度为$O(NH)$，也就是说很可能一些同学的做法，会要进行$5$$\times$$10^{9}$次的循环，运行结果同样也是$5$$\times$$10^{9}$，不但超时，而且还超了$int$整型的范围。当然良心出题人并没有把这组数据放进去，数据做了奇怪的限定能保证结果不超过$int$，否则你应该需要拿long long或__int64来存放结果（32位机下$int$和$long$都是$4$字节，一样的范围）。

 

      那怎么办呢？我们可以发现，如果$h_{i}$$>$$h_{i-1}$，那么总操作次数应要加上$h_{i}$$-$$h_{i-1}$，因为假定我在到达前面高度为$h_{i-1}$的部分的时候，已经总共操作了$t_{1}$次，如果当前部分比前面的还高，那么这个部分的下面$h_{i-1}$的高度已经被前面的操作完成了（尽量选择连续的一段增加高度），于是这里我只剩下了$t_{2}$$=$$h_{i}$$-$$h_{i-1}$的高度未完成。如果$h_{i}$$\leq$$h_{i-1}$，则前面的操作肯定也把这部分顺便完成了，因此不需要再次计算。由于每次只需要比较$h_{i}$和$h_{i-1}$的大小关系，前面比较过的与后面的无关，所以只需要一个循环把数组遍历一次就可以了，复杂度为$O(N)$。

 

      代码如下（我是在读入的时候就完成判断，因此不需要数组保存了）：

 1 #include <stdio.h>
 2 
 3 int main() {
 4     int T, N;
 5     scanf("%d", &T);
 6     while(T--) {
 7         int t = 0, x;
 8         long long res = 0;
 9         scanf("%d", &N);
10         for(int i=0; i<N; i++) {
11             scanf("%d", &x);
12             if(x>t) res += x-t;
13             t = x;
14         }
15         printf("%I64d\n", res);
16     }
17     return 0;
18 }

 

      在提交的代码中发现有同学想到了另一种方法，即寻找极大极小值的做法 ，复杂度同样为 $O(N)$ 。比如我先找到一个极小值$rmin$，往后面找到一个极大值$rmax$，这样总次数只需加上$rmax$$-$$rmin$即可，因为极小值前面的部分已经计算过了，只需要考虑极小值到极大值之间的操作次数就好了。当然一开始时极小值为$0$，遍历结束后也要注意加上还没计算的部分，略微麻烦点，留给大家思考 。

 

      附：数据生成程序如下：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <random>
 3 using namespace std;
 4 default_random_engine g1;
 5 default_random_engine g2;
 6 lognormal_distribution<double> lognDis(9, 5);
 7 uniform_int_distribution<int> uiDis(1, 1E5);
 8 
 9 int main() {
10     freopen("in.txt", "w+", stdout);
11     int T = 10;
12     printf("%d\n", T);
13     while(T--) {
14         int N = lognDis(g1);
15         if(N>1E5) N%=int(1E5);
16         printf("%d\n", N);
17         for(int i=0; i<N; i++) {
18             int Hi = uiDis(g2);
19             printf("%d ", Hi);
20         }
21         puts("");
22     }
23     return 0;
24 }

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——by BlackStorm, from here: http://www.cnblogs.com/BlackStorm/p/4988115.html .