bzoj4008: [HNOI2015]亚瑟王【期望dp】

　　一个特别神奇的dp，特别厉害。

　　f(i, j) 表示 有 j 轮发动技能的牌在 [1, i] 另外的m - j轮在[i + 1, n]之间的概率。

　　怎么转移呢？

　　首先考虑i这张牌不选的情况，f(i - 1, j) 表示 j --> [1, i - 1] && m - j --> [i, n]        (用箭头表示在[]之间...)，那么我们只需要让在[i, n]之间的m - j个选择都不是i即可，那么我们应该 * (1 - p[i]) ^ (m - j)

　　再考虑这张牌我们要选的情况，f(i - 1, j - 1)表示 j - 1 --> [1, i - 1] && m - j + 1 --> [i, n]， 那么我们需要m - j + 1中至少有一个i, 所以我们应该 * (1 - (1 - p[i]) ^ (m - j + 1))

　　所以就有了转移方程：

$\mbox{f(i, j) = f(i - 1, j) * (1 - p[i]) ^ {m - j} + f(i - 1, j - 1) * (1 - (1 - p[i]) ^ {m - j + 1})}$

　　那么初始条件是多少呢？ f(0, 0) == 1 为什么呢：

　　m次选择都在n之间的概率为1，那么f(n, m) == 1，这意味着m --> [1, n] 那么 另外的 0个选择--> 0，所以f(0, 0) == 1.

 

　　那么答案是多少呢？

　　应该是对于每一个扑克牌，我们扫描整个m轮，用当前的概率与扑克牌的贡献的成绩累加答案。

　　ans += d[i] * f[i - 1][j] * (1 - pow(1 - p[i], m - j)); 用j --> [1, i - 1] && m - j --> [i, n] 并且m - j中至少有一个i。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
 3 #define drep(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
 4 #define REP(i, a, b) for (int i = a; i < b; i++)
 5 #define mp make_pair
 6 #define pb push_back
 7 #define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))
 8 #define xx first
 9 #define yy second
10 using namespace std;
11 typedef long long i64;
12 typedef pair<int, int> pii;
13 const int inf = ~0U >> 1;
14 const i64 INF = ~0ULL >> 1;
15 //***********************************
16 
17 long double p[225]; int d[225];
18 long double f[225][135];
19 
20 int main() {
21     int T; scanf("%d", &T);
22     while (T--) {
23         int n, m;
24         scanf("%d%d", &n, &m);
25         rep(i, 1, n) scanf("%Lf%d", &p[i], &d[i]);
26         memset(f, 0, sizeof(f));
27         f[0][0] = 1;
28         rep(i, 1, n) {
29             rep(j, 0, m) f[i][j] = f[i - 1][j] * pow(1 - p[i], m - j) + f[i - 1][j - 1] * (1 - pow(1 - p[i], m - j + 1));
30         }
31         long double ans(0);
32         rep(i, 1, n) {
33             rep(j, 0, m) {
34                 ans += d[i] * f[i - 1][j] * (1 - pow(1 - p[i], m - j));
35             }
36         }
37         printf("%.10Lf\n", ans);
38     }
39     return 0;
40 }

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　　有一点还不太理解，就是在转移的时候，假如我们选取了i，那么用f(i - 1, j - 1)转移的时候乘的是至少有一个i的概率，那假如大于1个那么和题意不就矛盾了吗。。求助。。。