HDU 5622 KK's Chemical DP

题意：bc round 71(中文题面)

分析（官方题解）：

根据药品之间的相互关系，我们可以构建一张图，我们对相互会发生反应的药品连边

这个图的特征，是一个环加上一些“树”（可能有多个联通块）

一个环（1,2,3,4,5……，n）m染色的方案数：递推，设第一个点颜色为1

f[I,1]表示i点颜色为1的种数，f[I,0]为颜色不为1时(不考虑n与1颜色不同)

则F[I,0]=f[i-1,0]*(m-2)+f[i-1,1]*(m-1)，F[I,1]=f[i-1,0]

那么方案数为f[n,0]*m

一个根节点颜色固定且有k个孩子的树的m染色的方案数=(m-1)^k

​​ ,因为每个点的颜色只要与他的父亲颜色不同，即m-1种

因为乘法原理，一个联通块的方案数=环方案数*以环上每个点为根的树的积。多个联通块，再连乘即可

 

注：其实就是n个点的无向图k染色,相邻的节点颜色不一样，但是这个无向图有一个特点

就是其实无向图是由有向图（把方向去掉）变过来的，每个点的出度为1，所以不存在两个环(如果存在，至少存在一个点出度为2)

也就是官方题解说的，每一个连通块是由一个环和若干树组成

 

附上代码，这样的话时间复杂度是O（n）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e2+5;
const LL mod=1e9+7;
LL dp[N][2],k;
int c[N],n,T,vis[N];
void init()
{
    dp[1][0]=0,dp[1][1]=1;
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        dp[i][0]=(dp[i-1][0]*(k-2)%mod+dp[i-1][1]*(k-1)%mod)%mod;
        dp[i][1]=dp[i-1][0];
    }
    memset(vis,-1,sizeof(vis));
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%I64d",&n,&k);
        init();
        for(int i=0; i<n; ++i)
            scanf("%d",&c[i]);
        int cnt=0;
        LL ans=1;
        for(int i=0; i<n; ++i)
        {
            if(vis[i]!=-1)continue;
            int x=i;
            while(vis[x]==-1)
            {
                vis[x]=i;
                x=c[x];
            }
            if(vis[x]!=i)continue;
            int tmp=0,u=x;
            do
            {
                ++tmp;
                x=c[x];
            }while(x!=u);
            ans=ans*(dp[tmp][0]*k%mod)%mod;
            cnt+=tmp;
        }
        cnt=n-cnt;
        for(int i=0;i<cnt;++i)
            ans=ans*(k-1)%mod;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

View Code